Berechnung eines Tunnels < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Nicicole |
| Aufgabe | | Ein Tunnel, zusammengesetzt aus einem Zylinder und einem Quader , hat die länge 25 m. der Umfang beträgt 20m wie groß muss der Radius r sein, damit das Volumen des Tunnels maximal ist? |
Hallo,
ich habe heute meine Abschlussarbeit geschrieben und wollte nun wissen, ob ich es ungefähr richtig gemacht habe.
Die Aufgabenstellung entspricht nicht 100% der aus der arbeit , aber die Maße stimmen...( das konnte ich mir noch merken ^^)
Hier nun meine hoffentlich richtige Lösung:
V= [mm] l*b*h+\bruch{\pi*r^{2}*h}{2}
[/mm]
U= [mm] \pi*r+(l+2b)
[/mm]
l= [mm] U-\pi*r [/mm] -2b
V(r,b) = [mm] (U-\pi*r [/mm] -2b) * b * h + [mm] \bruch{\pi*r^{2}*h}{2}
[/mm]
V(r,b) = [mm] Ubh-\pi bhr-2hb^{2}+\bruch{\pi*r^{2}*h}{2}
[/mm]
V(r,b) = [mm] 500b-78,5398br-50b^{2}+39,2699r^{2}
[/mm]
V'(r,b) = 78,5398r-100b+421,4602
V'(r,b) = 0
0= 78,5398r-100b+421,4602
r= 1,2732b-5,3662
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Fr 29.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich blicke durch deine Lösung nicht ganz durch.
Aus deinen Angaben bastele ich
einen Tunnel der Form
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Volumen bestimmst du mit [mm] V=\overbrace{\underbrace{\bruch{\pi*r²}{2}}_{\text{Halbkreis}}+\underbrace{2r*h}_{\text{Rechteck}}}^{\text{Grundfläche}}*\overbrace{25}^{\text{Höhe}}
[/mm]
Der Umfang [mm] U=\underbrace{\pi*r}_{\text{Halbkreis}}+\underbrace{2r*2h}_{\text{Rechteck}} [/mm] soll 20 m betragen.
Vielleicht solltest du mal eine Skizze erstellen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 29.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast leider nen Fehler darin.
1.der Umfang ist sicher nicht der Laenge nach gemeint. sondern der Umfang des Querschnitts.
2. muss fuer das Volumen die gesamte Querschnitsflaeche mit l mult. werden.
Da l fest ist, haettest du nur die Querschnittsflaeche maximieren muessen.
Du hast nicht gesehen, dass ja l=25m gegeben war.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Nicicole |
so hab nun eine skizze mit beigepackt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Fr 29.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit den Bezeichnungen ist deine aufgabe wenigstens nicht mehr falsch. Du hast nur nicht gesehen, dass l=2r ist.
dadurch bist du nicht zur endgueltigen Loesung gekommen.
(ich wuerde dir immerhin die halbe Punktezahl fuer die Aufgabe geben. allerdings nur, wenn die Skizze dabei ist, weil es unueblich ist, wenn ne Laenge gegeben ist, die als h zu bezeichnen, und die Briete des Tunnels als l)
gruss leduart
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