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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Berechnung lokales maxima mini
Berechnung lokales maxima mini < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung lokales maxima mini: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 12.10.2008
Autor: VLplayer

Aufgabe
gegeben sei die funktion [mm] z(x,y)=4x+10y-5-xy+x^2+y^2 [/mm]
a) Bestimmen sie die lokalen maxima minima und sattelpunkte
b)Wie lautet die gleichung der tangentialebene an der stelle x0=1,y0=1
c) bestimmen sie die ableitung in richtung des vektors a=(1,1) an der stelle x0=1 y0=1

Hey.
es wäre super wenn ihr mir bei der aufgabe helfen könntet
mein Lösungsansatz:
z(x)= 4-y+2x=0
z(y)=10-x+2y=0
=>y=-8
=>x=-6
Z(xx)=2
Z(yy)=2
Z(xy)=-1

[mm] Z(xx)*Z(yy)-[Zxy]^2=5>0 [/mm] also min oder max
Z(xx)=2>0 also minimum

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Berechnung lokales maxima mini: Aufgabe a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 So 12.10.2008
Autor: MathePower

Hallo VLplayer,

[willkommenmr]

> gegeben sei die funktion [mm]z(x,y)=4x+10y-5-xy+x^2+y^2[/mm]
>  a) Bestimmen sie die lokalen maxima minima und
> sattelpunkte
>  b)Wie lautet die gleichung der tangentialebene an der
> stelle x0=1,y0=1
>  c) bestimmen sie die ableitung in richtung des vektors
> a=(1,1) an der stelle x0=1 y0=1
>  Hey.
>  es wäre super wenn ihr mir bei der aufgabe helfen könntet
> mein Lösungsansatz:
>  z(x)= 4-y+2x=0
>  z(y)=10-x+2y=0
>  =>y=-8
>  =>x=-6
>  Z(xx)=2
>  Z(yy)=2
>  Z(xy)=-1
>  
> [mm]Z(xx)*Z(yy)-[Zxy]^2=5>0[/mm] also min oder max
>  Z(xx)=2>0 also minimum


Das ist ok. [ok]


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Berechnung lokales maxima mini: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 So 12.10.2008
Autor: VLplayer

Ersteinmal danke schön für deine mühe...
jedoch kannst du mir vielleicht mit der aufgaben b) und c) weiter helfen


Bezug
                        
Bezug
Berechnung lokales maxima mini: Aufgabe b) c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 So 12.10.2008
Autor: MathePower

Hallo VLPlayer,

> Ersteinmal danke schön für deine mühe...
>  jedoch kannst du mir vielleicht mit der aufgaben b) und c)
> weiter helfen
>  

ad Aufgabe b)

Die Tangentialebene ist das []  Taylorpolynom 1. Grades in x und y an der Stelle [mm]x_{0},\ y_{0}[/mm]

ad Aufgabe c)

Hier geht es um die sogenannte []Richtungsableitung an der Stelle [mm]x_{0},\ y_{0}[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Berechnung lokales maxima mini: Aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 So 12.10.2008
Autor: VLplayer

also soweit ich weiss , geht es auch anders oder?
also ich hab es so versucht
z(x)=4-y+2x  f(x0)=1
Z(y)=10+2y-x f(y0)=1

Formel:
Z(x,y)= f(x0,y0)*(x-x0)+fy(x0,y0)*(y-y0)+f(x0,y0)

[4-y+2x*(x-1)]+[10+2y-x*(y-1)-1]
[mm] =>3x-13+9y-2xy+2x^2+2y^2 [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung lokales maxima mini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 So 12.10.2008
Autor: MathePower

Hallo VLPlayer,

> also soweit ich weiss , geht es auch anders oder?
>  also ich hab es so versucht
>  z(x)=4-y+2x  f(x0)=1
>  Z(y)=10+2y-x f(y0)=1
>  
> Formel:
>  Z(x,y)= f(x0,y0)*(x-x0)+fy(x0,y0)*(y-y0)+f(x0,y0)
>  
> [4-y+2x*(x-1)]+[10+2y-x*(y-1)-1]
>  [mm]=>3x-13+9y-2xy+2x^2+2y^2[/mm]  


Das stimmt nicht ganz

Die Werte der partiellen Ableitungen mußt Du an der Stelle [mm]x=y=1[/mm] ermitteln.

Demnach lautet die Tangentialebene:

[mm]\blue{\left(4-y_{0}+2x_{0}\right)}*(x-1)+\blue{\left(10+2y_{0}-x_{0}\right)}*(y-1)+z\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Berechnung lokales maxima mini: ergebnis?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 So 12.10.2008
Autor: VLplayer

Das heisst also
5*(x-1)+11(y-1)+z(x0y0)

oder steh ich jetzt voll aufn schlauch?

Bezug
                                                        
Bezug
Berechnung lokales maxima mini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 So 12.10.2008
Autor: MathePower

Hallo VLplayer,

> Das heisst also
> 5*(x-1)+11(y-1)+z(x0y0)


[mm]5*(x-1)+11(y-1)+z\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm]


>  
> oder steh ich jetzt voll aufn schlauch?

Nee, und den Funktionswert [mm]z_{0}=z\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm] kannst Du auch noch ausrechnen.
Dann steht erstmal die Ebenengleichung so da.

Wenn Du willst kannst Du noch ein bischen zusammenfassen.

Gruß
MathePower

Bezug
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