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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Berechnung von A^20
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Berechnung von A^20: Hilfe bei Fehlersuche
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mi 23.02.2011
Autor: Morgainelefey

Aufgabe
Berechne [mm] A^{20} [/mm]

[mm] A=\pmat{ 1 & 4 \\ -1 & -3 } [/mm]

Hallo zusammen

ich habe die folgende Aufgabe erhalten. Nun eigentlich dachte ich, dass ich weiss wie man die Aufgabe löst. Aber irgendwo hat sich bei mir ein Fehler eingeschlichen den ich einfach nicht finde.

Hier mein Lösungsansatz:

zuerst berechne ich die beiden Eigenvektoren von A. dies ergibt [mm] S=\pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 0 }, [/mm] anschliessend berechne ich [mm] S^{-1}=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 2 }, [/mm] dadurch sollte ich nun M berechnen können, da [mm] M=S^{-1}*A*S [/mm] ergibt dies [mm] M=\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm]

Nun sollte ich ja einfach [mm] S*M^{20}*S^{-1} [/mm] rechnen können um auf das richtige resultat zu kommen dies klappt aber nicht.

Gemäss Matlab ist die korrekte lösung nämlich [mm] \pmat{ -39 & -80 \\ 20 & 41 }, [/mm] und auf die komme ich bei weitem nicht.

Ich bin mir nicht sicher ob ich irgend etwas mit dem Matrixexponential verwechsle oder so...

Es wäre echt super wenn mir jemand von euch helfen könnte und mir sagen kann, was ich genau falsch mache..

Danke schön

        
Bezug
Berechnung von A^20: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Mi 23.02.2011
Autor: fred97

1. Ich hab nicht alles nachgerechnet.

2. Für

              $ [mm] M=\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] $

komme ich auf

                 $ [mm] M^n=(-1)^{n+1}\pmat{ -1 & n \\ 0 & -1 } [/mm] $  (n [mm] \in \IN) [/mm]

(Induktion !!)

3. Du kannst das auch mal mit dem Satz von Cayley - Hamilton versuchen

FRED

Bezug
                
Bezug
Berechnung von A^20: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Mi 23.02.2011
Autor: Morgainelefey

Hy Fred

Ja genau das stimmt, so erhalte ich auch die richtige Lösung....

Danke vielmals für deine Hilfe

Bezug
        
Bezug
Berechnung von A^20: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Mi 23.02.2011
Autor: fred97

Mit dem Satz von Cayley-Hamilton sieht man:

         [mm] $A^2=-2A-E$ [/mm]

Induktiv ergibt sich dann:

          [mm] $A^n= (-1)^n(nA+(n-1)E) [/mm]   $   (n [mm] \in \IN) [/mm]


Es folgt:  [mm] $A^{20}= \pmat{ -39 & -80 \\ 20 & 41 }. [/mm] $

FRED

Bezug
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