Berechnung von Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Fr 25.02.2005 | | Autor: | SamStone |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich komme bei folgenden beiden Aufgaben nicht weiter und möchte euch gerne um Hilfe bitten:
Sei x poissonverteilt, berechne Erwartungswert von (x+1)*(x-1)
Sei x poissonverteilt, berechne Erwartungswert von [mm] 2^x
[/mm]
Ich habe zwar eine Vorstellung davon was der Erwartungswert ist und wie man ihn berechnet, nur in Verbidung mit der Poissonverteilung und bei den obigen Konstellationen fehlt mir das Verständnis wie ich das berechnen muss.
Viele Grüsse
SamStone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo SamStone!
Im ersten Fall würde ich so ansetzen:
$E[(X+1)(X-1)]$
$= E[X(X-1)] + E[X]-1$
[mm] $=e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] k(k-1) [mm] \cdot \frac{\lambda^k}{k!} [/mm] + [mm] e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] k [mm] \cdot \frac{\lambda^k}{k!} [/mm] - 1$
$= [mm] \ldots$.
[/mm]
Und die zweite Aufgabe ist wirklich ganz einfach:
[mm] $E[2^X]$
[/mm]
[mm] $=e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty}2^k \cdot \frac{\lambda^k}{k!}$
[/mm]
$= [mm] e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(2\lambda)^k}{k!}$
[/mm]
$= [mm] \ldots$.
[/mm]
Schaffst du es jetzt die Ansätze zu Ende zu führen? Der Rest ist eigentlich simple Rechnerei. Da man sich dabei aber gerne vertut  , kannst du deine Lösungen gerne zur Kontrolle hier hereinstellen.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 04.03.2005 | | Autor: | SamStone |
Hi Julius!
Zunächst erstmal Danke für die schnelle Antwort!
Jetzt ist einiges klarer, wo es bei mir noch hapert, ist wie du den Ansatz der ersten Aufgabe gemacht hast, irgendwie blicke ich da noch nicht durch!
Viele Grüsse
SamStone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich wusste halt, dass man die Ausdrücke $E[X(X-1)]$ und $E[X]$ für die Poissonverteilung leicht berechnen kann.
Jetzt rechne ich also wie folgt:
[mm] $E[(X+1)\cdot [/mm] (X-1)]$
$= E[X [mm] \cdot [/mm] (X-1) + 1 [mm] \cdot [/mm] (X-1)]$
(Distributivgesetz)
$= E[X [mm] \cdot [/mm] (X-1) + X - 1]$
$= [mm] E[X\cdot [/mm] (X-1)] + E[X] - E[1]$
(Linearität des Erwartungswertes)
$ = [mm] E[X\cdot [/mm] (X-1)] + E[X] - 1$.
(Erwartungswert einer konstanten Funktion ist die Konstante)
Jetzt klarer? 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Sa 05.03.2005 | | Autor: | SamStone |
Nochmals herzlichen Dank! Jetzt habe ich es verstanden!
So ich setze hier mal meine Lösung zur ersten Aufgabe rein, die zweite muss ich noch! Hoffe ich liege richtig:
E[(x+1)(x-1)]
= ...
= [mm] e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*(k-1)* \bruch{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*\bruch{\lambda^k}{k!}-1
[/mm]
= [mm] \lambda*e^{-\lambda} *\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{(k*(k-1))^k}{k!}+\lambda*e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{k^k}{k!}-1
[/mm]
[mm] =\lambda*e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{ \infty}\underbrace{\bruch{1^k}{(k-2)!}}_{geht gegen 1}+\lambda*e^{-\lambda}-1*\summe_{k=0}^{ \infty}\underbrace{\bruch{1^k}{(k-1)!}}_{geht gegen 1}
[/mm]
[mm] =2*\lambda*e^{-\lambda} [/mm] - 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:58 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo SamStone!
> E[(x+1)(x-1)]
> = ...
> = [mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*(k-1)* \bruch{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*\bruch{\lambda^k}{k!}-1
[/mm]
>
>
> = [mm]\lambda*e^{-\lambda} *\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{(k*(k-1))^k}{k!}+\lambda*e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{k^k}{k!}-1
[/mm]
Ich sehe nicht, was du hier machst. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Richtig geht es so:
[mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=2}^{ \infty}k*(k-1)* \bruch{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=1}^{ \infty}k*\bruch{\lambda^k}{k!}-1
[/mm]
[mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{\lambda^k}{(k-2)!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^k}{(k-1)!}-1
[/mm]
[mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k+2}}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k+1}}{k!}-1
[/mm]
[mm]e^{-\lambda}* \lambda^2 * \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k}}{k!}+e^{-\lambda}* \lambda\summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k}}{k!}-1
[/mm]
[mm]e^{-\lambda}* \lambda^2 * e^{\lambda} +e^{-\lambda}* \lambda * e^{\lambda} -1
[/mm]
$= [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] -1$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Di 15.03.2005 | | Autor: | SamStone |
Hallo Julius!
Nochmals Danke! Habe oben ziemlichen Unsinn fabriziert, wie ich jetzt bemerkt habe!
Naja, Fehler machen schlau!
Ok dann möchte ich mich mal an der 2ten Aufgabe versuchen:
[mm] E[2^{x}] [/mm]
= [mm] e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}2^{k}* \bruch{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] =e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(2*\lambda)^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] =e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(\lambda+\lambda)^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] =e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{\lambda^{k}}{k!}+\bruch{\lambda^{k}}{k!})
[/mm]
[mm] =e^{-\lambda}*(e^{\lambda} [/mm] + [mm] e^{\lambda})
[/mm]
= 2
hoffe dass ich diesmal richtig liege!
Viele Grüsse
SamStone
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mi 16.03.2005 | | Autor: | SamStone |
Hier habe ich noch zwei weitere Probleme,
ich fange mal mit dem ersten an: Sei X~Bi(6, [mm] \bruch{1}{3})
[/mm]
Berechne [mm] EX^2
[/mm]
Mich würde interessieren ob der folgende Ansatz korrekt ist:
[mm] EX^2= \summe_{k=0}^{N}k*k*P(X=k) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{N}k*k* \vektor{N \\ k}*p^k*(1-p)^{N-k}
[/mm]
danach würde ich einfach die Werte einsetzen und entsprechend bis 6 aufsummieren.
Die zweite Aufgabe zu der ich noch keine richtige Idee habe ist: Sei X ~UC[0,1]
Berechne [mm] E(X-EX)^6
[/mm]
Wäre super wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte! Ich glaube ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht!
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Hi, SamStone,
> Hier habe ich noch zwei weitere Probleme,
> ich fange mal mit dem ersten an: Sei X~Bi(6,
> [mm]\bruch{1}{3})
[/mm]
> Berechne [mm]EX^2
[/mm]
Meinst Du [mm] E(X^{2}) [/mm] oder [mm] (E(X))^{2}?
[/mm]
Ich vermute mal: ersteres.
Dann gilt die Verschiebungsformel: Var(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] (E(X))^{2}
[/mm]
Daraus: [mm] E(X^{2}) [/mm] = Var(X) + [mm] (E(X))^{2}
[/mm]
Nun hast Du wegen der Binomialverteilung: [mm] E(X^{2}) [/mm] = [mm] (6*\bruch{1}{3})^{2} [/mm] + [mm] 6*\bruch{1}{3}*\bruch{2}{3} [/mm] = 4 + [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = [mm] \bruch{16}{3}
[/mm]
> Mich würde interessieren ob der folgende Ansatz korrekt
> ist:
>
> [mm]EX^2= \summe_{k=0}^{N}k*k*P(X=k)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{N}k*k* \vektor{N \\ k}*p^k*(1-p)^{N-k}
[/mm]
>
>
> danach würde ich einfach die Werte einsetzen und
> entsprechend bis 6 aufsummieren.
>
Und ich glaube, Du bekommst dasselbe raus, aber: Was geht schneller?!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
