Berechnung von Gewichten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mi 08.12.2010 | | Autor: | janisE |
| Aufgabe | a)
Gegeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y auf einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P}) [/mm] mit Werten in [mm] \IZ [/mm]und Gewichten
[mm] p_X(k) := P(\{X = k \}), p_Y(k) := P(\{Y = k \}) \forall k \in \IZ [/mm]
Bestimmen Sie bei Annahme der Unabhängigkeit von X und Y eine allgemeine Formel für die Gewichte der ZV S := X + Y.
b)
Seien [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] zwei unabhängig Poisson([mm] \lambda_1 [/mm]) bzw. Poisson([mm] \lambda_2 [/mm]) verteilte Zufallsvariablen. Bereichen Sie die Verteilung (Gewichte) von S := X + Y.
Hinweis: Verwenden Sie die Formel aus a) |
Hallo!
Bisher habe ich mir nur die a) angesehen, da ich die b) ohne das Ergebnis aus a) nicht machen kann...
zur a)
Was ich mir zur Aufgabe überlegt habe: Die ZV X und Y sind gegeben, und ich suche also [mm] p_S(k) = P(\{S = k\}) = P(\{(X+Y) = k\}) [/mm] und muss versuchen irgendwie durch Umformen [mm] p_S(k) [/mm] über [mm] p_X(k) [/mm] und [mm] p_Y(k) [/mm] auszudrücken, richtig?
Also, [mm] P(\{(X+Y) = k\}) = \sum\limits_{i=0}^k P(X = k) \cdot P(Y = k - i) = \sum\limits_{i=0}^k p_X(k) \cdot p_Y(k)[/mm]
Stimmt das so weit bzw. war es das?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Do 09.12.2010 | | Autor: | janisE |
Hallo!
Könnt ihr mir bitte sagen, ob mein Ansatz korrekt ist?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Fr 10.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> zur a)
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> Was ich mir zur Aufgabe überlegt habe: Die ZV X und Y sind
> gegeben, und ich suche also [mm]p_S(k) = P(\{S = k\}) = P(\{(X+Y) = k\})[/mm]
> und muss versuchen irgendwie durch Umformen [mm]p_S(k)[/mm] über
> [mm]p_X(k)[/mm] und [mm]p_Y(k)[/mm] auszudrücken, richtig?
>
> Also, [mm]P(\{(X+Y) = k\}) = \sum\limits_{i=0}^k P(X = k) \cdot P(Y = k - i) = \sum\limits_{i=0}^k p_X(k) \cdot p_Y(k)[/mm]
>
> Stimmt das so weit bzw. war es das?
>
Ich glaube Du bist mit den Indizes etwas durcheinander gekommen. Richtig ist
[mm] P(\{(X+Y)=k\})=\sum\limits_{i=0}^k P(X=i)\cdot P(Y=k-i)=\sum\limits_{i=0}^k p_X(i) \cdot p_Y(k-i)
[/mm]
denn die Summe muss ja immer noch k ergeben.
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