Berechnung von Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Mal wieder brauche ich Hilfe, oder eher gesagt immer noch. Es ist leider so. Ich hoffe es wird mir weitergeholfen, damit ich diesen blöden Zettel fertig bekomme.
Nächste Aufgabe:
Eine lineare Abbildung heißt Projektion, wenn f [mm] \circ [/mm] f = f gilt.
Es sei nun f: [mm] \IR² \to \IR² [/mm] eine Projektion, für die (2,1) [mm] \in [/mm] kern(f) und (1,-1) [mm] \in [/mm] bild(f) gelte. Berechnen Sie die Matrix [mm] M_{B}^{c}(f), [/mm] falls
a.) B = C = ((1,0),(0,1)),
b.) B = C = ((2,1),(1,-1))
Was wäre der erste Schritt und was muss ich mit den Angaben aus a.) und b.) machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Hat jemand Ahnung von dieser Aufgabe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Würde mir jemand den ersten Schritt verraten? Und mich dann beim Lösen der Aufgabe begleitend unterstützen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Ja, entschuldigt bitte meine Ungeduld. Aber ich stehe in LA so auf der Kippe und ich habe Angst die Klausurzulassung nicht zu erhalten. Ich brauche sie aber dringend. Deswegen muss auch diesmal der Zettel besser werden. Eigentlich muss er vollständig richtig sein. Also, verzeiht mir bitte meine Ungeduld.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Es sei nun f: [mm]\IR² \to \IR²[/mm] eine Projektion, für die
> (2,1) [mm]\in[/mm] kern(f) und (1,-1) [mm]\in[/mm] bild(f) gelte. Berechnen
> Sie die Matrix [mm]M_{B}^{c}(f),[/mm] falls
>
> a.) B = C = ((1,0),(0,1)),
Ok nenen wir diese Basiselemente mal [mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_2$. [/mm] Um die Darstellungsmatrix zu finden, musst du die Zahlen [mm] $a_{ij}$ [/mm] finden mit [mm] $$f(b_j)=\sum_{i=1}^2 a_{ij}b_i$$
[/mm]
Du kennst $f$ aber nur auf den Vektoren (2,1) (da ist f((2,1))=0, da [mm](2,1)\in\ker f[/mm]) und auf (1,-1) (denn [mm] $(1,-1)\in\operatorname{im} f\Rightarrow [/mm] f((1,-1))=(1,-1)$, da [mm] $f\circ [/mm] f=f$). Nun kannst du schreiben [mm] $b_1=(1,0)=\frac{1}{3}((2,1)+(1,-1))$, [/mm] also folgt mit der Linearität von $f$: [mm] $$f(b_1)=\frac{1}{3}f((2,1))+\frac{1}{3}(1,-1)=\frac{1}{3}(1,-1)=\frac{1}{3}b_1-\frac{1}{3}b_2$$ [/mm] Analog rechnest du [mm] $f(b_2)$ [/mm] aus und erhälst so die Darstellungsmatrix.
> b.) B = C = ((2,1),(1,-1))
Das geht genauso.
Alternativ kannst du auch sagen: [mm] A:=\{(2,1),(1,-1)\} [/mm] ist eine Basis von [mm] $\IR^2$ [/mm] und [mm] $M_A^A(f)=\pmat{0&0\\0&1}$. [/mm] Nun berechnest du einfach die Matrizen der Basistransformationen und dann ist [mm] $M_B^C(f)=T_A^C\cdot M_A^A(f)\cdot T_B^A$. [/mm] Dies ist aber vollkommen äquivalent zu dem was ich oben gerechnet habe.
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:10 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Könntest du mir deine Vorgehensweise vielleicht noch einmal erklären und wie du auf die 1/3 gekommen bist? Oder kannst du mir Literatur oder sowas empfehlen wo ich dieses leicht nachlesen könnte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 30.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Welche Form hat eine Darstellungsmatrix?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pelzig |
[mm] $\frac{1}{3}\pmat{1&-2\\-1&2}$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 30.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Wie kommst du auf deiner vorletzten Antwort auf die 1/3 bei b1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pelzig |
[mm] $b_1=(1,0)=\frac{1}{3}((2,1)+(1,-1))$ [/mm] daraus folgt wegen der Linearität von f [mm] $$f(b_1)=\frac{1}{3}(f((2,1))+f((1,-1)))=\frac{1}{3}(1,-1)=\frac{1}{3}(b_1-b_2)$$
[/mm]
Gruß, Robert
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Ehrlich gesagt verstehe ich nicht so ganz wie du darauf kommst. Woher kommen die 1/3? Und wie bist du bei fb1 vorgegangen? Kannst du mir das bitte erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:56 Mo 30.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Ist [mm] f(b_{2}):
[/mm]
$ [mm] f(b_2)=\frac{1}{3}f((2,1))+\frac{1}{3}(1,-1)=\frac{1}{3}(1,-1)=\frac{1}{3}b_1-\frac{1}{3}b_2 [/mm] $ ?
und wie führe ich nun fb1 und fb2 zu einer Darstellungsmatrix zusammen? Wie würde die Matrix zu a.) aussehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 30.11.2009 | | Autor: | mausieux |
$ [mm] $b_2=(0,1)=\frac{1}{3}((2,1)+(1,-1))$, [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm][/mm][mm] b_2=(0,1)=\frac{1}{3}((2,1)+(1,-1))[/mm] [mm],[/mm] ?
Nein, [mm] $b_2=(0,1)=\frac{1}{3}(2,1)+\frac{-2}{3}(1,-1)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 30.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Wie kommst du denn darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Einfach rumprobiert. Rechne doch linke und rechte Seite aus ums zu überprüfen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Alle Fragen habe ich bereits beantwortet. Sorry aber das wird mir jetzt n bischen zu bunt. Schau dir alles noch mal in Ruhe an.
Viele Grüße,
Robert
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Ist die Darstellungsmatrix folgende:
[mm] \pmat{f(b_{1}) \\ f(b_{2})} [/mm] = [mm] \pmat{1/3 & -1/3 \\ -2/3 & 2/3}\pmat{b_{1} \\ b_{2}} [/mm] ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
Viel Erfolg für diesen und die nächsten Übungszettel 
