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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Di 03.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | Gegeben sind die komplexen Zahlen
z = [mm] \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \bruch{2}{5}i [/mm] und w = [mm] -\bruch{7}{2} [/mm] - [mm] \bruch{7}{2}i [/mm]
Berechnen Sie jeweils den Winkel [mm] \varphi [/mm] aus dem Intervall [0; 2) zu den Zahlen: z; zw; [mm] z^3 [/mm] |
Hallo.
ich komme bei der oben genannten Aufgabe nicht weiter.
Zuerst einmal habe ich versucht, den Winkel von z zu berechnen:
Da habe ich geschrieben:
[mm] a^{2/5} [/mm] = cos [mm] (\varphi [/mm] - 2/5)o + [mm] isin(\varphi [/mm] - 2/5)
Aber ich bezweifle, dass der Ansatz richtig ist. Kann mir jemand bitte helfen?
LG
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> Gegeben sind die komplexen Zahlen
>
> z = [mm]\bruch{2}{5}[/mm] - [mm]\bruch{2}{5}i[/mm] und w = [mm]-\bruch{7}{2}\ -\ \bruch{7}{2}\,i[/mm]
>
> Berechnen Sie jeweils den Winkel [mm]\varphi[/mm] aus dem Intervall
> [0; [mm] 2\,\pi) [/mm] zu den Zahlen: z; zw; [mm]z^3[/mm]
> Hallo.
> ich komme bei der oben genannten Aufgabe nicht weiter.
>
> Zuerst einmal habe ich versucht, den Winkel von z zu
> berechnen:
>
> Da habe ich geschrieben:
>
> [mm]a^{2/5}[/mm] = cos [mm](\varphi[/mm] - 2/5)o + [mm]isin(\varphi[/mm] - 2/5) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was willst du mit [mm] a^{2/5} [/mm] ??
Zeichne dir die Zahl z als Punkt (oder als Pfeil vom
Nullpunkt zu diesem Punkt) in der komplexen Ebene
auf. Der zu z gehörige Winkel ist der von der Nullrichtung
(Richtung nach rechts, entlang der positiven reellen Achse)
aus gemessene Winkel bis zu deinem Pfeil.
Ebenso dann für w.
Dann: Der Winkel zu z*w ist die Summe der Winkel
zu z und w (wobei du den resultierenden Winkel allenfalls
in das Intervall von 0 bis [mm] 2\,\pi [/mm] reduzieren musst).
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Di 03.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort.
Ich habe soeben z als Punkt in ein Koordinatensystem eingezeichnet, wobei die y-Achse der Imaginäre Teil ist und die x-Achte der reelle Teil.
Doch wie sieht das ganze nun rechnerisch aus, um den Winkel zu berechnen?
LG
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> Danke für die Antwort.
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> Ich habe soeben z als Punkt in ein Koordinatensystem
> eingezeichnet, wobei die y-Achse der Imaginäre Teil ist
> und die x-Achte der reelle Teil.
>
> Doch wie sieht das ganze nun rechnerisch aus, um den Winkel
> zu berechnen?
Der "Zeiger" oder Vektor vom Nullpunkt zum Punkt z
zeigt doch nun nach rechts unten, in Richtung der Winkel-
halbierenden zwischen positiver x-Achse und negativer
y-Achse, also mit dem Winkel -45° oder (im Grundintervall)
360°-45°=315° oder im Bogenmaß ausgedrückt: [mm] \frac{7}{4}*\pi
[/mm]
Das kann man so schreiben:
$\ arg(z)\ =\ [mm] \frac{7}{4}*\pi\ [/mm] =\ 315$°
"arg" steht dabei für "Argument" oder eben Polarwinkel.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Di 03.01.2012 | | Autor: | legris |
Hallo,
Eine komplexe Zahl hat immer einen Real- und einen Imaginarteil. Bei der Zahl [mm] z=\bruch{2}{5}-\bruch{2}{5}i [/mm] ist der Realteil [mm] Re(z)=\bruch{2}{5} [/mm] und der Imaginärteil [mm] Im(z)=\bruch{-2}{5}. [/mm] Du kannst diese Zahl als Vektor in einem Koordinatensystem darstellen, wobei der Realteil dem x-Abschnitt, und der Imaginärteil dem y-Abschnitt entspricht. (siehe z.B: ![[]](/images/popup.gif) Wiki)
Der Winkel zwischen diesem Vektor und der x-Achse ist nun der Winkel [mm] \phi:
[/mm]
[mm] \phi [/mm] = [mm] arctan\bruch{b}{a}=-\bruch{\pi}{4}. [/mm] Da der Winkel zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] liegen muss, muss du [mm] \phi [/mm] noch anpassen: [mm] \phi=2\pi-\bruch{\pi}{4}=\bruch{7\pi}{4}
[/mm]
Für die anderen Zahlen geht das dann analog.
Gruss, legris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Mi 04.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Vielen Dank. Aber wie kommst du denn auf -pi/4 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 04.01.2012 | | Autor: | legris |
> Vielen Dank. Aber wie kommst du denn auf -pi/4 ?
[mm] \phi [/mm] = arctan [mm] \bruch{Im(z)}{Re(z)}=arctan\bruch{-\bruch{2}{5}}{\bruch{2}{5}}=arctan(-1)=\bruch{-\pi}{4}
[/mm]
Gruss, legris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 04.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke.
Und wie verfahre ich nun bei zw?
Ich habe zuerst ausmultipliziert und rausbekommen:
-14/5
Der imaginäre Teil fällt entsprechend weg. Da nur der Realteil übrig bleibt, würde der "Vektor" nur auf der x-Achse liegen, was zur Folge hätte, dass der Winkel 0° ist?
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Hallo dudu93,
> Danke.
> Und wie verfahre ich nun bei zw?
> Ich habe zuerst ausmultipliziert und rausbekommen:
>
> -14/5 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der imaginäre Teil fällt entsprechend weg. Da nur der
> Realteil übrig bleibt, würde der "Vektor" nur auf der
> x-Achse liegen, was zur Folge hätte, dass der Winkel 0°
> ist?
Das wäre so, wenn er auf der positiven reellen Achse läge, aber $-14/5$ ist ja negativ.
Welchen Winkel schließt das nun ein mit der pos. reellen Achse?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 04.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Stimmt ja, der Punkt würde auf der linken Seite liegen. Demzufolge wäre der Winkel Pi. (2 Pi - Pi = Pi)
Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> Stimmt ja, der Punkt würde auf der linken Seite liegen.
> Demzufolge wäre der Winkel Pi.
> (2 Pi - Pi = Pi)
>
> Stimmt das so?
Überprüfe es selbst, es muss ja gelten (siehe die anderern Antworten):
[mm]\operatorname{arg}(z\cdot{}w)=\operatorname{arg}(z)+\operatorname{arg}(w)[/mm]
Passt das hier?
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dir wurde gesagt, wie man aus dem Winkel von z und dem von w den von z*w bestimmt.
2. mach dir klar, was multiplizieren und potenzieren im Zeigerbild bedeutet! (steht auch im ersten post.
3. neg x-achse ist nicht 0° zur pos x- Achse.
4. überprüf dein Ergebnis mit dem Winkel von z und w einzeln.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 04.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Die letzte Aufgabe besteht darin, die Polarkoordinatenform von [mm] \bruch{1}{z^4} [/mm] zu berechnen. Kann mir da jemand bitte einen Ansatz geben, wie man da vorgeht?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, jetzt musst du selber was tun. 1. graphisch: wenn du weisst wie man multipliziert , wie dividiert man dann? bestimme damit den Winkel von 1/z
wenn du weisst wie man mult. dann kannst du auch potenzieren
also bestimme dann [mm] (1/z)^4=1/z^4
[/mm]
Wenn du das nicht kannst hast du bisher zu wenig verstanden, hast du das arg von w bestimmt und daraus den Winkel von z*w?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 04.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ich habe nun potenziert und rausbekommen:
[mm] z^4 [/mm] = [mm] (\bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \bruch{2}{5}i)^4 [/mm] = [mm] (\bruch{16}{625} [/mm] - [mm] \bruch{16}{625}i)
[/mm]
Dann habe ich Den Bruch 1/z berechnet, in dem ich zuerst erweitert habe und dann das ganze ausmultipliziert habe:
[mm] \bruch{1*(16/625 + 16/625i)}{(16/625 - 16/625)(16/625 + 16/625i)} [/mm]
= [mm] \bruch{16/625 + 16/625i}{512/390625} [/mm]
Stimmt das bis dahin? Und wie geht es jetzt denn weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mir gruselt!
1. warum schlägst du alle Ratschläge in den Wind?? warum rechnest du [mm] z^4 [/mm] aus, was niemand von dir verlangte?
aber dann kommt der wahre Graus:
[mm] (a-b)^4=a^4-b^4 [/mm] allerdings ohne [mm] i^4
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 04.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Also Schritt zu Schritt noch mal:
zuerst 1/z berechnen:
Da habe ich [mm] \bruch{2/5 + 2/5i}{8/25} [/mm] raus.
Was macht man jetzt mit dem ^4 ? Das verstehe ich noch nicht.
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Hallo!
> Also Schritt zu Schritt noch mal:
> zuerst 1/z berechnen:
>
> Da habe ich [mm]\bruch{2/5 + 2/5i}{8/25}[/mm] raus.
>
> Was macht man jetzt mit dem ^4 ? Das verstehe ich noch
> nicht.
Wende die Potenzregeln an!
[mm]\bruch{1}{z^4}=(\bruch{1}{z})^4[/mm]
Um das zu vereinfachen, geht man bei diesen Aufgaben meist so vor, dass man den Exponenten aufteilt um an das Ergebenis zu kommen
[mm]\bruch{1}{z^4}=(\bruch{1}{z^2})^2[/mm]
oder du wandelst deine komplexe Zahl (die du noch vereinfachen kannst) in die Eulerdarstellung um und rechnest über den Winkel (Was hier einfacher wäre).
Damit solltest du weiterkommen.
Valerie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst nicht 1/z bilden, sondern nur den Winkel angeben! wie findest du den Winkel vin w*z wenn du den von w und z kennst OHNE z*w auszurechnen.
Wie findest ud esn winkel von w/z ohne das auszurechnen?
division=Umkehrun von Multiplikation! wie findest du den Winkel von 1/z ohne 1/z auszurechnen? wie findest du den Winkel von 1/z*1/z wenn du den von 1/z hast, wie dann [mm] (1/z)^4
[/mm]
in allen Fällen kanst du die Winkel aus deinem [mm] -\pi/4 [/mm] bzw [mm] 7\pi/4 [/mm] bestimmen ohne die Wete von 1/z oder [mm] z^4 [/mm] usw auszurechnen.
Mach dich wirklich damit vertraut, was man mit den "Pfeilen" die z angeben tut, wenn man mit ner komplexen Zahl w mult.
du willst ja mit den dingern umgehen lernen! dazu sollst du sicher nicht stur endlos rummulziplizieren.
nächsts übungsblatt verlangt dann Wurzeln, dann spätestens musst du potenzieren verstanden haben um das umkehren zu können!
Gruss leduart
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