Berechnungen Satz von Stokes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:53 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Schei_y |
| Aufgabe | Wir betrachten den singulären 2-Würfel
$ c : [0, [mm] 1]^2 [/mm] -> [mm] R^3, (t_1, t_2) [/mm] -> [mm] (t^2_1, t_1t_2, t^2_2)$
[/mm]
und die 1-Form [mm] $\omega [/mm] = [mm] x_1 dx_2 [/mm] + [mm] x_1 dx_3 [/mm] + [mm] x_2 dx_3 [/mm] auf [mm] R^3. [/mm] Berechnen Sie [mm] $\integral_{c}{d \omega}$ [/mm] und [mm] $\integral_{\partial c}{\omega}$ [/mm] und überprüfen Sie, ob diese Integrale tatsächlich gleich sind (was ja der Satz von Stokes sagt). |
ich stecke derzeit bei [mm] $\integral_{\partial c}{\omega}$ [/mm] fest. den Rand [mm] $\partial [/mm] c = [mm] (1,t_1,0) [/mm] - [mm] (0,t_1,1)$ [/mm] habe ich bestimmt. setze ich das in [mm] $\integral_{\partial c}{\omega}$ [/mm] erhalte ich
[mm] \integral_{(1,t_1,0)}{x_1 dx_2 + x_1 dx_3 + x_2 dx_3} [/mm] - [mm] \integral_{(0,t_1,1)}{x_1 dx_2 + x_1 dx_3 + x_2 dx_3} [/mm]
= [mm] \integral_{[0,1]}{(1,t_1,0) \ast x_1 dx_2 + x_1 dx_3 + x_2 dx_3} [/mm] - [mm] \integral_{[0,1]}{(0,t_1,1) \ast x_1 dx_2 + x_1 dx_3 + x_2 dx_3}
[/mm]
laut wikipedia ist [mm] $\ast d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dx [/mm] - [mm] \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dz$, [/mm] was für meinen Fall doch wohl folgendes bedeutet:
[mm] $(\bruch{\partial x_2}{\partial x_2} [/mm] - [mm] \bruch{\partial x_1}{\partial x_3}) dx_1 [/mm] + [mm] (\bruch{\partial x_2}{\partial x_1} [/mm] - [mm] \bruch{\partial x_1}{\partial x_3}) dx_2 [/mm] + [mm] (\bruch{\partial x_1}{\partial x_1} [/mm] - [mm] \bruch{\partial x_1}{\partial x_2}) dx_3$
[/mm]
$= 1 dx1 + 0 [mm] dx_2 [/mm] +1 [mm] dx_3$
[/mm]
setze ich das in die obige Gleichung ein erhalte ich
[mm] \integral_{[0,1]}{(1,t_1,0) (dx_1 + dx_3)} [/mm] - [mm] \integral_{[0,1]}{(0,t_1,1) (dx_1 + dx_3)} [/mm] = [mm] \integral_{[0,1]}{d(1)+d(0)} [/mm] - [mm] \integral_{[0,1]}{d(0) + d(1)} [/mm] = 0 - 0 = 0
dies erscheint mir nun aber nicht richtig. wo habe ich den oder die Fehler gemacht?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:59 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Schei_y |
| Aufgabe | Wir betrachten den singulären 2-Würfel
$ c : [0, [mm] 1]^2 [/mm] -> [mm] R^3, (t_1, t_2) [/mm] -> [mm] (t^2_1, t_1t_2, t^2_2) [/mm] $
und die 1-Form $ [mm] $\omega [/mm] $ = $ [mm] x_1 dx_2 [/mm] $ + $ [mm] x_1 dx_3 [/mm] $ + $ [mm] x_2 dx_3 [/mm] $ auf $ [mm] R^3. [/mm] $ Berechnen Sie $ [mm] $\integral_{c}{d \omega}$ [/mm] $ und $ [mm] $\integral_{\partial c}{\omega}$ [/mm] $ und überprüfen Sie, ob diese Integrale tatsächlich gleich sind (was ja der Satz von Stokes sagt). |
ich glaube das erste war totaler Blödsinn. ich habe noch mal gerechnet, weiß aber wieder nicht weiter.
diesmal habe ich $ [mm] \integral_{\partial c}{\omega} [/mm] $ auseinander gezogen, was laut der Linearität des Integrals ja möglich sein sollte. d.h. ich habe jetzt $ [mm] \integral_{\partial c}{x_1 dx_2} [/mm] + [mm] \integral_{\partial c}{x_1 dx_3} [/mm] + [mm] \integral_{\partial c}{x_2 dx_3}$. [/mm] Der Rand ist weiterhin $ [mm] \partial [/mm] c = [mm] (1,t_1,0) [/mm] - [mm] (0,t_1,1) [/mm] $, was ich für [mm] $\partial [/mm] c$ einsetzen kann und weiter auseinander ziehen kann:
$ [mm] \integral_{(1,t_1,0)}{x_1 dx_2} [/mm] - [mm] \integral_{(0,t_1,1)}{x_1 dx_2}+ \integral_{(1,t_1,0)}{x_1 dx_3} [/mm] - [mm] \integral_{(0,t_1,1)}{x_1 dx_3} [/mm] + [mm] \integral_{(1,t_1,0)}{x_2 dx_3} [/mm] - [mm] \integral_{(0,t_1,1)}{x_2 dx_3}$
[/mm]
für den ersten Summanden komme ich dann auf $ [mm] \integral_{(1,t_1,0)}{x_1 dx_2} [/mm] = [mm] \integral_{[0,1]}{(1,t_1,0) \ast (x_1 dx_2)}$ [/mm] und so richtig weiß ich nicht, wie ich von da an weiter rechnen soll. Wäre für Hinweise/Ratschläge dankbar!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 06.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 06.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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