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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Berechnungen/ Umrechnen
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Berechnungen/ Umrechnen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:37 Do 07.06.2012
Autor: drossel

Hi, ich habe verschiendene kleinere Nachfragen die sich teilweise bei Aufgaben ergeben haben bzw. nicht vernünftig geklärt wurden, sind teilweise vll. etwas dähmlich sry, aber ich stehe dazu.

einmal zu Reihen:
1. Wie kommt man von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{z^n+(-z)^n}{n!} [/mm] auf [mm] z(1+\summe_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}+(-z)^{n-1}}{n!}) [/mm]

2. von [mm] (\pi*z)^2\summe_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!} [/mm] auf [mm] \pi*z^2(-\frac{\pi}{2}+\pi*\summe_{i=2}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!} [/mm] ?

3.Wir sollten die Residuen an allen Singularitäten bestimmen von [mm] f(z)=e^{\frac{1}{z^2}} [/mm]
f hat eine Singularität bei z=0. Wie kann ich hier im speziellen Fall das Residuum bestimmen? Also [mm] f(z)=\summe_{i=0}^{\infty}z^{-2n}\frac{1}{n!} =1+\summe_{i=1}^{\infty}z^{-2n}\frac{1}{n!} [/mm] . Wieso ist dann jetzt hier das Residuum diese 1?

4. Welche möglichen Werte in [mm] \IC [/mm] kann [mm] (\frac{1+i}{\sqrt2})^i [/mm] je nach Wahl eines Logarithmus annehmen? Welche Werte sind möglich?
Hier weiss ich nicht wie das geht und was heisst nach Wahl eines Logarithmus? (Das wurde nicht wirklich besprochen) Um da jetzt was zu berechnen habe ich mal angefangen: [mm] (\frac{1+i}{\sqrt2})^i=e^{i*ln{\frac{1+i}{\sqrt2}}}=e^{i*ln(e^{i\frac{\pi}{4}})}=e^{-\frac{\pi}{4}} [/mm] ...

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Lg
        
Bezug
Berechnungen/ Umrechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mo 11.06.2012
Autor: meili

Hallo,

> Hi, ich habe verschiendene kleinere Nachfragen die sich
> teilweise bei Aufgaben ergeben haben bzw. nicht vernünftig
> geklärt wurden, sind teilweise vll. etwas dähmlich sry,
> aber ich stehe dazu.
>  
> einmal zu Reihen:
>  1. Wie kommt man von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{z^n+(-z)^n}{n!}[/mm] auf
> [mm]z(1+\summe_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}+(-z)^{n-1}}{n!})[/mm]
>  
> 2. von
> [mm](\pi*z)^2\summe_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!}[/mm]
> auf
> [mm]\pi*z^2(-\frac{\pi}{2}+\pi*\summe_{i=2}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!}[/mm]
> ?

[mm](\pi*z)^2\summe_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!}[/mm]  =    | (Summand mit i=1 extra vor die Summe schreiben)

[mm](\pi*z)^2\left(\frac{(-1)^1(z\pi)^{2*1-2}}{(2*1)!} +\summe_{i=2}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!}\right)[/mm] =     | (Summand mit i=1 zusammenrechnen)

[mm](\pi*z)^2\left(-\frac{1}{2} +\summe_{i=2}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!}\right)[/mm] =     | [mm] ($(\pi*z)^2 [/mm] = [mm] \pi^2*z^2$ [/mm] und die Summanden in der Klammer mit [mm] $\pi$ [/mm] multiplizieren)

[mm]\pi*z^2\left(-\frac{\pi}{2}+\pi*\summe_{i=2}^{\infty}\frac{(-1)^i(z\pi)^{2i-2}}{(2i)!}\right)[/mm]

>  
> 3.Wir sollten die Residuen an allen Singularitäten
> bestimmen von [mm]f(z)=e^{\frac{1}{z^2}}[/mm]
> f hat eine Singularität bei z=0. Wie kann ich hier im
> speziellen Fall das Residuum bestimmen? Also
> [mm]f(z)=\summe_{i=0}^{\infty}z^{-2n}\frac{1}{n!} =1+\summe_{i=1}^{\infty}z^{-2n}\frac{1}{n!}[/mm]
> . Wieso ist dann jetzt hier das Residuum diese 1?

Falls die Entwicklung  [mm]f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}z^{-2n}\frac{1}{n!} [/mm] der Funktion [mm]f(z)=e^{\frac{1}{z^2}}[/mm]
für [mm] $z_0 [/mm] = 0$ ok ist,
was ich nicht überprüft habe, lässt sich die []Laurentreihe
[mm]f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}z^{-2n}\frac{1}{n!} [/mm] =  [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{0}z^{2n}\frac{1}{(-n)!} [/mm] schreiben.
Damit wäre aber [mm] $a_{-1} [/mm] = 0$ und das Residuum 0.
>  
> 4. Welche möglichen Werte in [mm]\IC[/mm] kann
> [mm](\frac{1+i}{\sqrt2})^i[/mm] je nach Wahl eines Logarithmus
> annehmen? Welche Werte sind möglich?
>  Hier weiss ich nicht wie das geht und was heisst nach Wahl
> eines Logarithmus? (Das wurde nicht wirklich besprochen) Um
> da jetzt was zu berechnen habe ich mal angefangen:
> [mm](\frac{1+i}{\sqrt2})^i=e^{i*ln{\frac{1+i}{\sqrt2}}}=e^{i*ln(e^{i\frac{\pi}{4}})}=e^{-\frac{\pi}{4}}[/mm]
> ...
>  

Da die []komplexe Exponentialfunktion periodisch mit der Periode [mm] $2\pi [/mm] i$ ist,
lässt sich nur auf einem Streifen [mm] $\{z \in \IC | a < \mbox{Im}(z) < a+2\pi\}, [/mm] a [mm] \in \IR$ [/mm] eine
[]komplexe Logaritmusfunktion als Umkehrfunktion eindeutig bestimmen.

> Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Lg

Gruß
meili
Bezug
        
Bezug
Berechnungen/ Umrechnen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 11.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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