Bernoulli-DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Lösen Sie die Bernoulli DGL y´= [mm] y-y^{2} [/mm] |
irgendwie komme ich nicht auf das selbe Ergebnis: rauskommen soll y = [mm] \bruch{1}{1+Ce^{-t}}
[/mm]
ich habe folgendes gerechnet:
y´-y= [mm] -y^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{y´}{y^{2}}-\bruch{1}{y}= [/mm] -1
Substitution: u= [mm] \bruch{1}{y} [/mm] ; u´ = [mm] -\bruch{1}{y^{2}}* [/mm] y´
neue DGL: u´+u=1
Dann habe ich mit TdV u´ = (1-u)*1 gelöst:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-u} du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1 dt}
[/mm]
ln(1-u)= t+c
1-u = [mm] e^{t+c} [/mm] = [mm] e^{t}* e^{c} \Rightarrow e^{c}= [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] -u = [mm] C*e^{t}-1
[/mm]
u = [mm] -C*e^{t}+1
[/mm]
y= [mm] \bruch{1}{u} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-C*e^{t}}
[/mm]
was passt denn da nicht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 So 09.08.2015 | | Autor: | Calli |
Hello !
[mm] $\frac{\mathrm d u}{1-u}=\mathrm [/mm] d t$
$=$
[mm] $\frac{\mathrm d u}{u-1}=-\mathrm [/mm] d t$
[mm] $\vdots$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mo 10.08.2015 | | Autor: | Calli |
> ...
> neue DGL: u´+u=1
>
> Dann habe ich mit TdV u´ = (1-u)*1 gelöst:
>
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-u} du} \color{red}\ne \color{black}\ln (1-u)[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{1-u} \mathrm [/mm] d u = [mm] -\ln [/mm] |u-1|$
Denn
[mm] $1-u>0\,!\;\Rightarrow\; [/mm] |1-u|$
[mm] $\bullet\quad\text{Wenn }u>1\;\Rightarrow\;|1-u|=u-1$
[/mm]
[mm] $\bullet\quad\text{Wenn }u<1\;\Rightarrow\;|u-1|>0$
[/mm]
|
|
|
|
