www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Bernoulli-DGL
Bernoulli-DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bernoulli-DGL: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mo 09.02.2009
Autor: Gaspy

Aufgabe
[mm] y^{'} [/mm] = [mm] \bruch{y(y+x)}{x^{2}} [/mm]

Hallo,
Ich habe diese Aufgabe ohne richtigen Lösungsweg und weiss nicht genau was ich falsch gemacht habe. Bin für jede Anregung dankbar.
Die DGL habe ich als Bernouli angenommen.

[mm] y^{'} [/mm] = [mm] \bruch{y(y+x)}{x^{2}} \Rightarrow y^{''} [/mm] = [mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}}+\bruch{y*x}{x^{2}} [/mm]

[mm] y^{'} [/mm] - [mm] \bruch{y*x}{x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}} [/mm] = 0

Sub:
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{1}{z} \Rightarrow y^{'} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{z^{2}}*z^{'} [/mm]

Für y eingesetzt und mit [mm] z^{2} [/mm] multipliziert:
[mm] -\bruch{1}{z^{2}}*z^{'}-\bruch{1}{z*x}-\bruch{1}{z^{2}*x^{2}} [/mm] =0

- [mm] z^{'} [/mm] - [mm] \bruch{z}{x}-\bruch{1}{x^{2}} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow z^{'} [/mm] + [mm] \bruch{z}{x} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] = 0 (A)
[mm] \Rightarrow z^{'} [/mm] + [mm] \bruch{z}{x} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm]

Homogene lösen:
[mm] z^{'} [/mm] = [mm] -\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral {\bruch{dz}{z}}= -\integral {\bruch{dx}{x}} [/mm]              
z= -x [mm] *C_{1} [/mm]  (B)

Inhomogene lösen:
[mm] z^{'} [/mm] = -x [mm] *C_{1}^{'}+C_{1} [/mm]

z und [mm] z^{'} [/mm] in (A) eingesetzt: [mm] x*C_{1}^{'}-C_{1}+\bruch{x*C_{1}}{x}-\bruch{1}{x^{2}} [/mm]
[mm] x*C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{2}} \Rightarrow C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{3}} [/mm]
[mm] C_{1}= -\bruch{1}{2x^{2}}+C [/mm] in (B) eingesetzt:
z(x)= [mm] -x(-\bruch{1}{2x^{2}}+C) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -Cx

y(x) = [mm] \bruch{1}{z(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}x-Cx} [/mm]

Als Lösung wird angegeben:
y(x) = [mm] \bruch{1}{ln(x)+C} [/mm]


Danke im Vorraus

Die Frage habe ich nur hier gestellt.

        
Bezug
Bernoulli-DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Mo 09.02.2009
Autor: fred97


> [mm]y^{'}[/mm] = [mm]\bruch{y(y+x)}{x^{2}}[/mm]
>  Hallo,
>  Ich habe diese Aufgabe ohne richtigen Lösungsweg und weiss
> nicht genau was ich falsch gemacht habe. Bin für jede
> Anregung dankbar.
>  Die DGL habe ich als Bernouli angenommen.
>  
> [mm]y^{'}[/mm] = [mm]\bruch{y(y+x)}{x^{2}} \Rightarrow y^{''}[/mm] =
> [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}+\bruch{y*x}{x^{2}}[/mm]
>  
> [mm]y^{'}[/mm] - [mm]\bruch{y*x}{x^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}[/mm] = 0
>  
> Sub:
>  [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]\bruch{1}{z} \Rightarrow y^{'}[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{z^{2}}*z^{'}[/mm]
>  
> Für y eingesetzt und mit [mm]z^{2}[/mm] multipliziert:
>  
> [mm]-\bruch{1}{z^{2}}*z^{'}-\bruch{1}{z*x}-\bruch{1}{z^{2}*x^{2}}[/mm]
> =0
>  
> - [mm]z^{'}[/mm] - [mm]\bruch{z}{x}-\bruch{1}{x^{2}}[/mm] = 0
>   [mm]\Rightarrow z^{'}[/mm] + [mm]\bruch{z}{x}[/mm] +  [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] = 0
> (A)
> [mm]\Rightarrow z^{'}[/mm] + [mm]\bruch{z}{x}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
>
> Homogene lösen:
>  [mm]z^{'}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral {\bruch{dz}{z}}= -\integral {\bruch{dx}{x}}[/mm]
>    

      

> z= -x [mm]*C_{1}[/mm]  (B)
>  


-x ist keine Stammfunktion von [mm] -\bruch{1}{x} [/mm]  !!!!!!

Sondern ?????

FRED



> Inhomogene lösen:
>  [mm]z^{'}[/mm] = -x [mm]*C_{1}^{'}+C_{1}[/mm]
>  
> z und [mm]z^{'}[/mm] in (A) eingesetzt:
> [mm]x*C_{1}^{'}-C_{1}+\bruch{x*C_{1}}{x}-\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
>  [mm]x*C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{2}} \Rightarrow C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{3}}[/mm]
>  
> [mm]C_{1}= -\bruch{1}{2x^{2}}+C[/mm] in (B) eingesetzt:
>  z(x)= [mm]-x(-\bruch{1}{2x^{2}}+C)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] -Cx
>  
> y(x) = [mm]\bruch{1}{z(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{2}x-Cx}[/mm]
>  
> Als Lösung wird angegeben:
>  y(x) = [mm]\bruch{1}{ln(x)+C}[/mm]
>  
>
> Danke im Vorraus
>  
> Die Frage habe ich nur hier gestellt.


Bezug
                
Bezug
Bernoulli-DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Mo 09.02.2009
Autor: Gaspy

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

[mm] \integral {\bruch{dz}{z}}= -\integral {\bruch{dx}{x}} [/mm]              

lnz = - ln x +C

[mm] e^{lnz}=- e^{lnx+C} [/mm]
z = [mm] \bruch{1}{x}*C [/mm]  (B)
[mm] z^{'} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x^2}*C +C_{1}^{'}\bruch{1}{x} [/mm]

Hoffe das stimmt so eher, auf den Fehler mit der Stammfunktion wäre ich so schnell nicht gekommen.

z und [mm] z^{'} [/mm] in (A) eingesetzt:

[mm] \bruch{1}{x}*C [/mm] = [mm] +C_{1}^{'}\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2}*C -\bruch{1}{x^{2}}=0 [/mm]

[mm] x*C_{1}^{'}=-\bruch{1}{x^{2}} [/mm]

[mm] C_{1}^{'}=-\bruch{1}{x} [/mm]

[mm] C_{1}= [/mm] -ln(x) in (B) eingesetzt:

z(x)= [mm] \bruch{1}{x}*C [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}*ln(x) [/mm]

y(x) = [mm] \bruch{1}{z(x)} [/mm] = [mm] \bruch{-x}{ln(x)+C} [/mm]

Damit stimmt die gerechnete Lösung mit der angegebenen Lösung überein.
Danke nochmals.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]