Bernoulli-Experiment < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 So 02.02.2014 | | Autor: | Simone91 |
| Aufgabe | | Ein Bernoulli-Experiment mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p wird so lange unabhängig wiederholt, bis der r-te erfolg eintritt. Bis zu diesem Zeitpunkt werden k Mißerfolge beobachtet. Schätzen Sie p! |
Hallööö,
ein Bernoulli-Experiment bedeutet ja das es nur zwei mögliche Ausgänge pro durchgang gibt, 1 oder 0, mit der Wahrscheinlichkeit p = 1-q.
Nun wäre also P[X=r] = [mm] p^r [/mm] * [mm] (1-p)^k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ r} [/mm] was der Binomialverteilung entspricht.
[mm] p^r [/mm] sind ja genau r treffer und [mm] (1-p)^k [/mm] sind die k misserfolge. da es aber verschiedene Möglichkeiten gibt die treffer bzw. miserfolge anzuordnen oder auszulösen gibt es noch [mm] \vektor{n \\ r} [/mm] Variationen.
Ist das so richtig alles? :D
Danke schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ist soweit alles richtig.
Du hast zusätzlich zu den in der Aufgabe eingeführten Variablen r und k noch die Variable n verwendet, beachte also, dass n=r+k gilt.
Jetzt fängt die Arbeit an ...
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 02.02.2014 | | Autor: | Simone91 |
genau n =r + k! Danke, aber was fehlt nun noch? :D
also wie muss man denn nun weitermachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich würde voschlagen, die Sache mit dem gesunden Menschenverstand anzugehen.
Das Expeiment wird n=r+k mal durchgeführt. Dabei treten r Erfolge ein. Die beste Schätzung von p ist die relative Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Simone91 |
hm vielleicht ist mein Menschenverstand nicht so gesund wie deiner :/
relative Häufigkeit ist doch einfach [mm] \bruch{r}{r+k} [/mm] also erfolge durch Anzahl der durchführungen?
hm sry, war einen ganzen Monat krank bei semster Anfang, da fehlt es mir an Grundlagen... Aber die kann ich am besten durch aufgaben lernen, deshalb versuche ich das so gut es geht :(
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Hallo,
> relative Häufigkeit ist doch einfach [mm]\bruch{r}{r+k}[/mm] also
> erfolge durch Anzahl der durchführungen?
Ja. Aber jetzt geht ja die eigentliche Aufgabe erst los. Denn das ist die abgeschätze Wahrscheinlichkeit P(X=r), keinesfalls jedoch die Trefferwahrscheinlichkeit p!
Hier kann man r als Erwartungswert auffassen, dann lässt sich das so begründen:
[mm] n*p=(r+k)*\bruch{r}{r+k}=r
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:58 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Simone91 |
hm, ok vielen Dank für deine Tips. Leider weiss ich nicht wie ich da Anfangen kann, habe gerade nochmal etwas gelesen und gesehen das man das dann wohl mit der Tschebyschef Ungleichung Lösen muss?
[mm] P(abs(X-\mu)>=a)<=Var(X)/a^2
[/mm]
dann mit
E(X)=n*p und Var(X)=n*p*(1-p)
[mm] P(abs(X-n*p)>=a)<=(np(1-p))/a^2
[/mm]
und durch n dividieren, dann erhält man
P(abs(X/n [mm] -p)>=a/n)<=(np(1-p))/a^2
[/mm]
Mit X/n [mm] :=H_n [/mm] und a/n [mm] :=\epsilon
[/mm]
[mm] P(abs(H_n -p)>=\epsilon)<=(p(1-p))/(n\epsilon^2)
[/mm]
das wäre die Ungleichung von Tschebyschew für relative Häufigkeiten [mm] H_n [/mm] von Treffern in einer Bernoulli-Kette der Länge n
Stimmt der Ansatz?
Und hiermit muss ich dann p ausrechnen? Habe ja gar nichts gegeben ;/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich hatte mich vertan. Schau mal die jetzige Version meiner Antwort an, ich denke, darauf hat jedenfalls der Tipp von Sax gezielt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Simone91 |
Hi,
ist das die Lösung? Also nichts mit tschebyschef? aber verstehe nicht ganz wieso du sagst n*p = r
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hi,
>
> ist das die Lösung? Also nichts mit tschebyschef? aber
> verstehe nicht ganz wieso du sagst n*p = r
ich bin mir auch nicht ganz sicher. Das ist aber jedenfalls die Lösung, auf die Sax offensichtlich hinaus wollte.
Für eine binomialverteilte ZV X ist der Erwartungswert E(x) bekanntlich
E(X)=n*p
und hier lässt sich ja r als Erwartungswert und n als die Anzahl der Durchführungen r+k auffassen.
Ob aber wirklich hier eine so einfache Überlegung oder doch etwas anderes gemeint ist, weiß ich nicht und habe momentan leider auch nicht die Zeit, es zu recherchieren.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Tschebychev
(Sein Name schreibt sich russisch Пафнутий Львович Чебышёв, was nach heutiger Transkription zu Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow wird (Betonung der letzten Silbe); wiss. Transliteration Pafnutij L’vovič Čebyšëv, früher auch (falsch, da auf erster Silbe betont) als Tschebyscheff oder Tschebyschew oder Tschebyschev und insbesondere im Englischen als Chebyshev transkribiert.)
hat damit tatsächlich nichts zu tun.
Was Diophant meint ist Folgendes :
Wenn ein Zufallsexperiment mit der Einzeltreffer-Wahrscheinlichkeit p n-mal durchgeführt wird, dann können wir die Zufallsvariable X betrachten, die zählt, wieviele Treffer sich unter diesen n Durchführungen befinden. Man kann dann nachrechnen, dass der Erwartungswert von X gegeben ist durch $ E(X)=n*p $. Anschaulich gesprochen : Wenn ich einen echten Würfel 600 mal werfe, dann erwarte ich im Durchschnitt 100 mal das Eintreffen von "SECHS".
Hier werden nach n=r+k Versuchen r Treffer beobachtet, also : E(X)=r gesetzt und nach p aufgelöst.
@ Diophant:
Diese Art der Anwendung der Formel liefert zwar das richtige Ergebnis, aber ich bin mir nicht so sicher, ob die Begründung für ihre Legitimation in dieser Situation wasserdicht ist. Der Grund ist die "Abbruchbedingung".
Das Zufallsexperiment wird eine Reihe von Malen durchgeführt. Bei der Benutzung der Formel geht man davon aus, dass diese Anzahl n von vornherein festliegt. Hier ist die Situation jedoch anders gelagert. Das Experiment wird so oft ausgeführt, bis eine bestimmte Anzahl (r) von Treffern erreicht ist.
Man sollte also die Zufallsvariable Y betrachten, die abzählt, wie viele Durchführungen des Experiments gemacht werden, bis r Treffer erreicht sind. Die Verteilung von Y ist dann gegeben durch [mm] P(Y=n)=\vektor{n-1 \\ r-1}*p^r*(1-p)^{n-r} [/mm] mit dem Erwartungswert [mm] E(Y)=\summe_{n=r}^{\infty}n*\vektor{n-1 \\ r-1}*p^r*(1-p)^{n-r}
[/mm]
Dies lässt sich leicht umformen zu [mm] E(Y)=\bruch{r}{p} [/mm] und wenn wir nun noch E(Y)=r+k setzen, erhalten wir ebenfalls den angegebenen Wert für p.
PS: hast du den Fehler in meinen Ausführungen bemerkt ?
Es ist das Wort "leicht".
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Simone91 |
Hm, vielen Dank für eure Mühen! Leider ist mir das Prinzip welches hinter der Aufgabe steckt immer noch nicht klar. Werde aber versuchen mit eurer Hilfestellung es zu verstehen.
Verstehe leider nicht den Ablauf den ich machen müsste um so eine ähnliche Aufgabe anzugehen.
trotzdem super vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> da es aber verschiedene Möglichkeiten gibt
> die treffer bzw. miserfolge anzuordnen oder auszulösen
> gibt es noch [mm]\vektor{n \\ r}[/mm] Variationen.
>
Das bezeichnet man eigentlich nicht als Variationen sondern als Kombinationen. Variationen wären die unterschiedlichen möglichen Augänge eines solchen Experiments, wenn man alle mögleichen Trefferzahlen von 0 bis n zulässt und die Reihenfolgen von Treffern oder Nieten beachtet. Anders erklärt: die Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne wird
- beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge als Kombinationen und
- beim Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge als Variationen
bezeichnet.
Gruß, Diophant
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