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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
| Aufgabe 1 | (i) Zwei Cowboys schießen abwechselnd bis zum ersten Treffer. Mit Welcher W-Keit gewinnt der Cowboy, der den ersten Schuss hat?
Die Trefferw-keit von Cowboy i = 1,2 ist [mm] p_{i}\in(0,1) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | (ii) Für welche [mm] p_{1}, p_{2} [/mm] haben beide Cowboys dieselbe Gewinnw-keit? |
Abend,
wäre nett wenn sich jemand meine Überlegungen zu der Aufgabe anschauen könnte.
Fall Cowboy 1 [mm] (C_{1}) [/mm] fängt an:
Es gibt (theoretisch) unendliche viele Möglichkeiten, dass [mm] C_{1} [/mm] gewinnt.
Mög. 0: [mm] C_{1} [/mm] trifft = [mm] p_{1}
[/mm]
Mög. 1: [mm] C_{1} [/mm] trifft nicht, [mm] C_{2} [/mm] trifft nicht, [mm] C_{1} [/mm] trifft = [mm] (1-p_{1})*(1-p_{2})*p_{1}
[/mm]
Mög. 2: [mm] C_{1} [/mm] trifft nicht, [mm] C_{2} [/mm] trifft nicht, [mm] C_{1} [/mm] trifft nicht, [mm] C_{2} [/mm] trifft nicht, [mm] C_{1} [/mm] trifft = [mm] (1-p_{1})*(1-p_{2})*(1-p_{1})*(1-p_{2})*p_{1}
[/mm]
.
.
Mög. k: ... = [mm] ((1-p_{1})*(1-p_{2}))^{k}*p_{1}
[/mm]
=> [mm] P(C_{1} [/mm] gewinnt) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}((1-p_{1})*(1-p_{2}))^{k}*p_{1} [/mm]
Soweit korrekt?
Danke
Ebri
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Hallo,
> (i) Zwei Cowboys schießen abwechselnd bis zum ersten
> Treffer. Mit Welcher W-Keit gewinnt der Cowboy, der den
> ersten Schuss hat?
>
>
> Die Trefferw-keit von Cowboy i = 1,2 ist [mm]p_{i}\in(0,1)[/mm]
> (ii) Für welche [mm]p_{1}, p_{2}[/mm] haben beide Cowboys dieselbe
> Gewinnw-keit?
> Abend,
> wäre nett wenn sich jemand meine Überlegungen zu der
> Aufgabe anschauen könnte.
>
> Fall Cowboy 1 [mm](C_{1})[/mm] fängt an:
>
> Es gibt (theoretisch) unendliche viele Möglichkeiten, dass
> [mm]C_{1}[/mm] gewinnt.
>
> Mög. 0: [mm]C_{1}[/mm] trifft = [mm]p_{1}[/mm]
> Mög. 1: [mm]C_{1}[/mm] trifft nicht, [mm]C_{2}[/mm] trifft nicht, [mm]C_{1}[/mm]
> trifft = [mm](1-p_{1})*(1-p_{2})*p_{1}[/mm]
> Mög. 2: [mm]C_{1}[/mm] trifft nicht, [mm]C_{2}[/mm] trifft nicht, [mm]C_{1}[/mm]
> trifft nicht, [mm]C_{2}[/mm] trifft nicht, [mm]C_{1}[/mm] trifft =
> [mm](1-p_{1})*(1-p_{2})*(1-p_{1})*(1-p_{2})*p_{1}[/mm]
> .
> .
> Mög. k: ... = [mm]((1-p_{1})*(1-p_{2}))^{k}*p_{1}[/mm]
>
> => [mm]P(C_{1}[/mm] gewinnt) =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}((1-p_{1})*(1-p_{2}))^{k}*p_{1}[/mm]
>
>
> Soweit korrekt?
Ja, das sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bedenke jetzt, dass du die beiden konstanten Faktoren [mm] 1-p_1 [/mm] sowie [mm] p_1 [/mm] selbst vor das Summenzeichen ziehen kannst und es entsteht was? 
Von daher verwundert es nicht weiter, dass es hier um eine geometrische Verteilung geht, und eben nicht um eine Bernoulli-Kette, wie der Titel (der dennoch nicht verkehrt ist) vielleicht vorschnell suggerieren könnte.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Ja, das sieht gut aus!
>
> Bedenke jetzt, dass du die beiden konstanten Faktoren [mm]1-p_1[/mm]
> sowie [mm]p_1[/mm] selbst vor das Summenzeichen ziehen kannst und es
> entsteht was?
>
> Von daher verwundert es nicht weiter, dass es hier um eine
> geometrische Verteilung geht, und eben nicht um eine
> Bernoulli-Kette, wie der Titel (der dennoch nicht verkehrt
> ist) vielleicht vorschnell suggerieren könnte.
>
>
> Gruß, Diophant
Danke für die Antwort. Ich wusste nicht genau was für ein Titel ich nehmen sollte. Also habe ich, da es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt, diesen genommen.
[mm] p_{1} [/mm] habe ich auch vor die Summe gezogen, aber [mm] (1-p_1) [/mm] ist in der Klammer [mm] (..)^{k} [/mm] also abhängig, oder übersehe ich was?
Ebri
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Hallo,
> [mm]p_{1}[/mm] habe ich auch vor die Summe gezogen, aber [mm](1-p_1)[/mm] ist
> in der Klammer [mm](..)^{k}[/mm] also abhängig, oder übersehe ich
> was?
nein, das war mein Fehler. Es ist und bleibt jedoch eine geometrsiche Reihe, von daher kann man da jetzt Butter bei die Fisceh geben und losrechnen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> nein, das war mein Fehler. Es ist und bleibt jedoch eine
> geometrsiche Reihe, von daher kann man da jetzt Butter bei
> die Fisceh geben und losrechnen.
>
> Gruß, Diophant
Aye, aye!
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}((1-p_{1})\cdot{}(1-p_{2}))^{k}\cdot{}p_{1} [/mm] = [mm] p_{1}\summe_{k=0}^{\infty}(1-p_{2}-p_{1}+p_{1}p_{2})^{k} [/mm] = [mm] p_{1}*(\frac{1}{1-(1-p_{2}-p_{1}+p_{1}p_{2})}) [/mm] = [mm] \frac{p_{1}}{p_{2}+p_{1}-p_{1}p_{2}}
[/mm]
Für (ii) muss ich das Ganze noch mit [mm] P(C_{2} [/mm] gewinnt) = [mm] 1-P(C_{1} [/mm] gewinnt) gleichsetzten, vereinfachen und man hat den Zusammenhang von [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2}, [/mm] wenn beide die gleiche W-Keit haben sollen?
Dann noch den Fall, dass [mm] C_{2} [/mm] anfängt.
Ebri
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Hallo,
> > nein, das war mein Fehler. Es ist und bleibt jedoch eine
> > geometrsiche Reihe, von daher kann man da jetzt Butter bei
> > die Fisceh geben und losrechnen.
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Aye, aye!
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}((1-p_{1})\cdot{}(1-p_{2}))^{k}\cdot{}p_{1}[/mm]
> = [mm]p_{1}\summe_{k=0}^{\infty}(1-p_{2}-p_{1}+p_{1}p_{2})^{k}[/mm]
> = [mm]p_{1}*(\frac{1}{1-(1-p_{2}-p_{1}+p_{1}p_{2})})[/mm] =
> [mm]\frac{p_{1}}{p_{2}+p_{1}-p_{1}p_{2}}[/mm]
>
>
> Für (ii) muss ich das Ganze noch mit [mm]P(C_{2}[/mm] gewinnt) =
> [mm]1-P(C_{1}[/mm] gewinnt) gleichsetzten, vereinfachen und man hat
> den Zusammenhang von [mm]p_{1}[/mm] und [mm]p_{2},[/mm] wenn beide die
> gleiche W-Keit haben sollen?
Genau, das ist der zielführende Ansatz.
> Dann noch den Fall, dass [mm]C_{2}[/mm] anfängt.
Na ja, da muss man ja eigentlich nur Variablennamen vertauschen...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Do 21.11.2013 | | Autor: | Ebri |
> Na ja, da muss man ja eigentlich nur Variablennamen
> vertauschen...
>
> Gruß, Diophant
Da hast du recht.
Danke fürs drüber gucken.
Schöner Abend noch,
Ebri
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