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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Fr 04.03.2016 | | Autor: | Piba |
| Aufgabe | | Sei a [mm] \ge [/mm] 1. Wenden Sie die Bernoulli-Ungleichung auf a = (1 + [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] - [mm] 1)^n [/mm] an. Folgern Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} [/mm] = 1 |
Guten Tag, ich habe versucht mit der Bernoulli-Ungleichung zu rechnen, komme da aber nicht vernünftig weiter. Kann mir da einer bei Helfen?
$a = (1 + [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] - [mm] 1)^n \underbrace{\ge}_{Bernoulli-Ungleichung} [/mm] 1 + [mm] (\wurzel[n]{a} [/mm] - 1) * n = 1 + [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] * n - n$
Ich würde sagen, je größer $n$ ist, desto näher kommt a and die 1 kommt. [mm] \Rightarrow [/mm] 1 + (a * n - n) = 1 + (1 * n - n) = 1 + (n - n) = 1 + 0 = 1. Daraus können wir folgern, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} [/mm] = 1? ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Fr 04.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei a [mm]\ge[/mm] 1. Wenden Sie die Bernoulli-Ungleichung auf a =
> (1 + [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] - [mm]1)^n[/mm] an. Folgern Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}[/mm] = 1
> Guten Tag, ich habe versucht mit der Bernoulli-Ungleichung
> zu rechnen, komme da aber nicht vernünftig weiter. Kann
> mir da einer bei Helfen?
>
> [mm]a = (1 + \wurzel[n]{a} - 1)^n \underbrace{\ge}_{Bernoulli-Ungleichung} 1 + (\wurzel[n]{a} - 1) * n = 1 + \wurzel[n]{a} * n - n[/mm]
>
> Ich würde sagen, je größer $n$ ist, desto näher kommt a
> and die 1 kommt.
Hä ??? a ist doch fest !!!
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 + (a * n - n) = 1 + (1 * n -
> n) = 1 + (n - n) = 1 + 0 = 1.
Mit Verlaub, aber das ist großer Unsinn !
> Daraus können wir folgern,
> dass [mm]$\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}[/mm] = 1? ist.
Ganz bestimmt nicht.
Wir hatten doch:
$a [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] * n - n$
Es folgt:
$a [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] * n - [mm] n=1+n(\wurzel[n]{a}-1)$
[/mm]
Daraus bekommen wir
$0 [mm] \le \wurzel[n]{a}-1 \le \bruch{a-1}{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Jetzt mach Du weiter.
FRED
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