Bernoulli, Schätzung von p < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
| Aufgabe | | Ein Unternehmen hat insgesamt n = 1000 Aktien ausgegeben. Ihre Besitzer entscheiden sich bei jeder Aktie mit Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1 zum Verkauf der Aktie. Diese Entscheidung findet bei jeder Aktie unabhängig statt. Der Markt kann s = 50 Aktien aufnehmen, ohne dass der Kurs fällt. Wie groß darf p höchstens sein, damit der Kurs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% nicht fällt? |
Ich habe versucht diese Aufgabe mit dem Gesetz der großen Zahl zu lösen.
Dort habe ich ja die Formel (wenn ich schon den EW und die Var für den Bernoulli einsetze): [mm]P(|\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i - p| \ge \epsilon) \le \frac{p(1-p)}{n \epsilon ^2}[/mm].
Es ist n = 1000 und die rechte Seite sollte kleiner als 0.1 werden.
Nur weiss ich weder was ich für [mm] \epsilon [/mm] nehmen soll, noch wo ich das "s = 50" einbauen soll.
Wenn ich [mm]\epsilon = \frac{1}{20} = \frac{s}{n}[/mm] einsetze, dann kommt kein passendes Ergebnis für p raus.
Kann man die Aufgabe überhaupt mit dem Gesetz der großen Zahl lösen oder muss ich da anders ran?
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo,
meine Ideen zur Aufgabe (habs aber nicht gerechnet): Ich würde die Aufgabe nicht über das Gesetz der großen Zahlen lösen, sondern (was auf etwas ähnliches hinausläuft) die Tschebyschevsche Ungleichung. Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann suchst du das p für das die Wahrscheinlichkeit das 50 von 1000 Leuten ihre Aktie verkaufen 0.1 ist, oder
[mm] \vektor{50 \\ 1000} p^{50} (1-p)^{1000-50}\le [/mm] 0.1. Um die linke Seite abzuschätzen, nimmt man Tschebyschev für die Binomialverteilung also (mit [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} X_{i}) [/mm] P ( | [mm] S_{n} [/mm] - np | [mm] \ge [/mm] 50) [mm] \le \bruch{np(1-p)}{2500} [/mm] = [mm] \bruch{1000p(1-p)}{2500} [/mm] = [mm] \bruch{2}{5} [/mm] p(1-p) [mm] \le [/mm] 0.1.
und das dann Auflösen.
Hoffe das ist der richtige Weg,
Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]\vektor{50 \\ 1000} p^{50} (1-p)^{1000-50}\le[/mm] 0.1. Um die
> linke Seite abzuschätzen, nimmt man Tschebyschev für die
> Binomialverteilung also (mit [mm]S_{n}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} X_{i})[/mm]
> P ( | [mm]S_{n}[/mm] - np | [mm]\ge[/mm] 50) [mm]\le \bruch{np(1-p)}{2500}[/mm] =
> [mm]\bruch{1000p(1-p)}{2500}[/mm] = [mm]\bruch{2}{5}[/mm] p(1-p) [mm]\le[/mm] 0.1.
> und das dann Auflösen.
Nur leider ist jedes p aus [mm] \IR [/mm] eine Lösung dieser Ungleichung.
Das dumme ist... sowohl das Gesetz der großen Zahl als auch die Tschebyschev-Ungleichung führen auf einen Ausdruck der p(1-p) enthält.
Und für p = 1 wird das ganze Null und erfüllt somit dann -jede- Ungleichung die da hinten dran noch stehen könnte.
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Hallo,
aber es wurde doch 0 < p < 1 in der Aufgabestellung vorausgesetzt.
Grüße, Steffen
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:50 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
> aber es wurde doch 0 < p < 1 in der Aufgabestellung
> vorausgesetzt.
> Grüße, Steffen
Ja gut, aber wenn man nah genug an die 1 mit dem p geht, dann geht p(1-p) nah genug an die Null und erfüllt trotzdem dann jede Ungleichung.
Ich mein... wenn man sich das n bissl überlegt, dann ist ja z.B. 1/20 eine obere Grenze für p.
Weil das würde ja heissen, dass im Schnitt genau 50 Aktien verkauft werden, wodurch aber die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 50 verkauft werden, größer als 10% sein wird (das ist jetzt grob mit dem Auge geschätzt).
Aber was anderes fällt mir jetzt nicht ein.
Es ist auch genau das, was wir zuletzt in der VL gemacht haben (also Grenzwertsätze).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 07.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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