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| Aufgabe | Sei [mm] b_{0}(x)=1 [/mm] und die Polynomfunktionen (die Bernoullipolynome) [mm] b_{n} [/mm] auf [0,1] definiert durch [mm] b_{n}'= [/mm] n [mm] b_{n} [/mm] und [mm] \int_{0}^{1} b_{n}(x) [/mm] dx =0. Und [mm] B_{n}:=b_{n}(0) [/mm] die Bernoullizahlen. Zeigen Sie, dass [mm] b_{n} [/mm] im Betrag durch n! beschränkt ist, dass
[mm] \sum b_{n}(x) \frac{t^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \frac{t e^{t x}}{e^{t}-1}, [/mm] dass [mm] b_{n}(1-x)=(-1)^{n} b_{n}(x) [/mm] und dass [mm] B_{n} [/mm] für alle ungeraden n bis auf 1 verschwindet. |
Huhu!
Irgendwie tu ich mich schwer mit dieser Aufgabe, obwohl sie eigentlich nicht so schwer sein sollte. Die Abschätzung kommt mir sehr grob vor...Es sieht für mich (nach Ansicht der ersten paar [mm] b_{n}) [/mm] so aus, als wären sie gar durch 1 beschränkt, da kann es doch nicht so schwer sein, zu beweisen, dass sie durch n! beschränkt sind... Das muss doch irgendwie induktiv hinhauen, immerhin steht da schon nen n in der Rekursion... Damit krieg ich aber nur fast sowas hin...
Es ist [mm] b_{n}(x)=\int_{0}^{x}b_{n}'(x)dx +b_{n}(0)
[/mm]
Also [mm] |b_{n}(x)| \le [/mm] n! x + [mm] |b_{n}(0)|
[/mm]
Da stört diese Bernoullizahl noch...
Anders herangehen kann man an die Sache, wenn man das n-te Bernoullipolynom explizit in Abhängigkeit von den Koeffizienten des (n-1)-ten hinschreibt. Aber da seh ich auch nicht, warum diese Ungleichung stimmt...
[mm] b_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n-1} \frac{n a_{i}}{i+1}(x^{i+1}- \frac{1}{i+2})
[/mm]
Zum zweiten: Laut wolframalpha ist diese Reihe die Taylorreihe von der rechten Funktion bei t=0. Wenn ich die aber selbstberechnen will, stoße ich auf Probleme bei der Ableitung, weil diese bei t= 0 nur ein GW ist und es wird schon bei der ersten unglaublich kompliziert. Wie also kann ich zeigen, dass diese Polynome als Ableitung der rechten Funktion auftreten, indem ich irgendwie zeige, dass sie gerade diese rekursiven Bedingungen erfüllen? Aber wie?
Das dritte hab ich wie das erste versucht über das Integral, aber irgendwie stecke ich auch da in einer Sackgasse.
Beim vierten hab ich versucht über die explizite Formel zu zeigen, dass wenn eine Bernoullizahl verschwindet, dass auch die übernächste verschwindet...Aber das seh ich da auch nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Di 30.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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