Bernoullische Ungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Fr 22.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
| Aufgabe | | Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung, um zu zeigen, dass die Folge [mm] (np^n) [/mm] beschränkt ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
HI, hatte bei der Frage irgendwie nicht durchgeblickt. Hatte im Skript und auch im I-Net nach der Bernoullischen Ungleichung geguckt, was es mit der aufgabe zu tun hat ist aber für mich total unklar.
Ich soll die Ungleichung benutzen um zu zeigen, dass die Folge [mm] (np^n) [/mm] für n Element der natürlichen Zahlen beschränkt ist... schon beim einsätzen in die Ungleichung habe ich Probleme, da mir da irgendwie das n im Weg steht.
Als Ungleichung hatte ich [mm] (1-x)^n [/mm] >= 1 + nx. das p hätte ich mit dem x gleichgesetzt, aber dann steht in der Ungleichung noch die 1. In meiner Folge sit aber auch noch das n als Multiplikator unterzubringen.
Jemand ne Idee?
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Hallo mcgeth,
> Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung, um zu zeigen,
> dass die Folge [mm](np^n)[/mm] beschränkt ist.
Das wird wohl kaum klappen.
ZB. für [mm]p=1[/mm] hast du die Folge [mm](n\cdot{}1^n)_{n\in\IN}=(n)_{n\in\IN}[/mm], die hochgradig unbeschränkt ist.
Das lässt mich vermuten, dass eine Angabe bzgl. [mm]p[/mm] fehlt.
Etwa [mm]|p|<1[/mm] oder ähnlich?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> HI, hatte bei der Frage irgendwie nicht durchgeblickt.
> Hatte im Skript und auch im I-Net nach der Bernoullischen
> Ungleichung geguckt, was es mit der aufgabe zu tun hat ist
> aber für mich total unklar.
>
> Ich soll die Ungleichung benutzen um zu zeigen, dass die
> Folge [mm](np^n)[/mm] für n Element der natürlichen Zahlen
> beschränkt ist... schon beim einsätzen in die Ungleichung
> habe ich Probleme, da mir da irgendwie das n im Weg steht.
>
> Als Ungleichung hatte ich [mm](1-x)^n[/mm] >= 1 + nx.
Wieso "-" ?
> das p hätte
> ich mit dem x gleichgesetzt, aber dann steht in der
> Ungleichung noch die 1.
Dann stünde da (bei passendem p) doch [mm](1+p)^n\ge 1+np[/mm]
Da fehlt also wohl der Exponent beim p ...
Wie sieht's mit [mm]x=p^n[/mm] aus?
Bedenke [mm]1+np^n>np^n[/mm] (für [mm] $0\le [/mm] p<1$) ...
> In meiner Folge sit aber auch noch
> das n als Multiplikator unterzubringen.
>
> Jemand ne Idee?
Liefere erstmal die komplette Aufgabenstellung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Fr 22.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
So, habe jetzt mein Problem ermitteln können... ich habe keine Ahnung das ich mit der benoullischen Ungleichung anfangen soll. Ich hatte jetzt im Skript und im Internet gesucht... beweisen kann ich sie (mit vollständiger Induktion) aber was das ganze soll und warum ich damit über eine folge und ob sie beschränkt ist aussagen treffen kann weiss ich nicht. Kann man dass irgendwo erfahren?
Hab glaube ich noch nie ne Anwendung von dieser Ungleichung gesehen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Fr 22.07.2011 | | Autor: | DM08 |
schachuzipus hat dir doch schon probiert zu erklären, dass an deiner Aufgabe etwas nicht stimmen kann. Überprüfe deine Aufgabenstellung und stelle sie gegebenfalls nochmals rein.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
Die Aufgabe Buchstage für Buchstabe:
Sei 0<p<1.
a) Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung, um zu zeigen, dass die Folge [mm] (np^n) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] beschränkt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Sa 23.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Aufgabe Buchstage für Buchstabe:
>
> Sei 0<p<1.
Na also ....
> a) Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung, um zu
> zeigen, dass die Folge [mm](np^n)[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] beschränkt ist.
Es ist also 1/p>1. Setze $q:= [mm] \bruch{1}{p}-1$. [/mm] Dann ist 1+q= [mm] \bruch{1}{p} [/mm] und somit ist
$ [mm] \bruch{1}{p^n}=(1+q)^n \ge [/mm] 1+nq [mm] \ge [/mm] nq$
Es folgt:
$ [mm] \bruch{1}{np^n} \ge [/mm] q$
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mcgeth |
OK, mal gucken ob ich es mit meinem derzeit beschränkten Intellekt verstehe:
Es ist also 1/p>1. Setze $ q:= [mm] \bruch{1}{p}-1 [/mm] $. Dann ist 1+q= $ [mm] \bruch{1}{p} [/mm] $ und somit ist
$ [mm] \bruch{1}{p^n}=(1+q)^n \ge [/mm] 1+nq [mm] \ge [/mm] nq $
Es folgt:
$ [mm] \bruch{1}{np^n} \ge [/mm] q $
Ich sollte ja zeigen, dass die Folge beschränkt ist. Wir wissen von oben, dass 1/p>1 und $ q:= [mm] \bruch{1}{p}-1 [/mm] $ daraus folgt aber auch, dass $ q:= [mm] \bruch{1}{p}-1>1-1 [/mm] $ also q>0.
$ [mm] \bruch{1}{np^n} \ge [/mm] q >0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 > [mm] np^n [/mm] $
Also ist die Folge beschränkt auf einen Bereich zwischen 0 und 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Sa 23.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist. Was ergibt sich also ?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 So 24.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> OK, mal gucken ob ich es mit meinem derzeit beschränkten
> Intellekt verstehe:
>
> Es ist also 1/p>1. Setze [mm]q:= \bruch{1}{p}-1 [/mm]. Dann ist 1+q=
> [mm]\bruch{1}{p}[/mm] und somit ist
>
> [mm]\bruch{1}{p^n}=(1+q)^n \ge 1+nq \ge nq[/mm]
>
> Es folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{np^n} \ge q[/mm]
>
> Ich sollte ja zeigen, dass die Folge beschränkt ist. Wir
> wissen von oben, dass 1/p>1 und [mm]q:= \bruch{1}{p}-1[/mm] daraus
> folgt aber auch, dass [mm]q:= \bruch{1}{p}-1>1-1[/mm] also q>0.
>
> [mm]\bruch{1}{np^n} \ge q >0 \Rightarrow 1 > np^n[/mm]
Aus [mm] \bruch{1}{np^n} \ge [/mm] q folgt
$0 [mm] \le np^n \le [/mm] 1/q$.
FRED
>
> Also ist die Folge beschränkt auf einen Bereich zwischen 0
> und 1 ?
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