www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Bernsteinpolynom
Bernsteinpolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bernsteinpolynom: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 So 10.04.2011
Autor: SolRakt

Aufgabe
Zeigen Sie, dass mit n [mm] \in \IN [/mm] für das n-te Bernsteinpolynom der Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] auf [0,1] gilt:

[mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}x(1-x) [/mm]

Hinweis: Formen Sie unter Benutzung von [mm] p_{n}^{x}(x) [/mm] = x
die Funktion [mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] - [mm] \bruch{x}{n} [/mm]
in eine Summe um, und klammern Sie dort [mm] \bruch{n-1}{n}x^{2} [/mm] aus


Hallo.

Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.

Rein formal wäre doch der Ansatz:

[mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n}f(\bruch{j}{n})x^{j}(1-x)^{n-j} [/mm]

[mm] p_{n}^{x^{2}}(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n}\bruch{j^{2}}{n^{2}}x^{j}(1-x)^{n-j} [/mm]

Aber jetzt habe ich schon keine Ahnung mehr und auch der Hinweis hilft mir nicht wirklich weiter :(

Danke für Hilfe.

Gruß

        
Bezug
Bernsteinpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 So 10.04.2011
Autor: Fulla

Hallo SolRakt,


> Zeigen Sie, dass mit n [mm]\in \IN[/mm] für das n-te
> Bernsteinpolynom der Funktion f(x) = [mm]x^{2}[/mm] auf [0,1] gilt:
>  
> [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}x(1-x)[/mm]
>  
> Hinweis: Formen Sie unter Benutzung von [mm]p_{n}^{x}(x)[/mm] = x
>  die Funktion [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] - [mm]\bruch{x}{n}[/mm]
>   in eine Summe um, und klammern Sie dort
> [mm]\bruch{n-1}{n}x^{2}[/mm] aus
>  
> Hallo.
>  
> Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.
>  
> Rein formal wäre doch der Ansatz:
>  
> [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] = [mm]\summe_{j=0}^{n}f(\bruch{j}{n})\red{{n\choose j}}x^{j}(1-x)^{n-j}[/mm]
>  
> [mm]p_{n}^{x^{2}}(x)[/mm] = [mm]\summe_{j=0}^{n}\bruch{j^{2}}{n^{2}}\red{{n\choose j}}x^{j}(1-x)^{n-j}[/mm]
>  
> Aber jetzt habe ich schon keine Ahnung mehr und auch der
> Hinweis hilft mir nicht wirklich weiter :(

Nach dem Hinweis sollst du erstmal [mm]p_n^{x^2}(x)-\frac{x}{n}[/mm] als Summe darstellen. Mit [mm]p_n^x(x)=x[/mm] ergibt das
[mm]p_n^{x^2}(x)-\frac{x}{n}=p_n^{x^2}(x)-\frac{1}{n}p_n^x(x)=\sum_{i=0}^n\frac{i^2}{n^2}{n\choose i}x^i (1-x)^{n-i}-\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n\frac{i}{n}{n\choose i}x^i(1-x)^{n-i}[/mm]
[mm]=\sum_{i=0}^n\frac{i^2-i}{n^2}{n\choose i}x^i(1-x)^{n-i}=\sum_{i=0}^n\frac{i(i-1)}{n^2}{n\choose i}x^i(1-x)^{n-i}[/mm]

So, jetzt bist du dran!
Du sollst jetzt [mm]\frac{n-1}{n}x^2[/mm] ausklammern: forme dazu [mm]\frac{i(i-1)}{n^2}{n\choose i}[/mm] um. Am Schluss musst du noch eine Indexverschiebung machen.

Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                
Bezug
Bernsteinpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 So 10.04.2011
Autor: SolRakt

Erstmal vielen Dank für die Hilfe.

Ich hab mal versucht, das umzuformen:

[mm] \bruch{i(i-1)}{n^{2}}\bruch{n!}{i!(n-i)!} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{n^{2}}\bruch{n!}{(i-2)!(n-i)!} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{n}\bruch{(n-1)!}{(i-2)!(n-i)!} [/mm]

= [mm] \bruch{n-1}{n}\bruch{(n-2)!}{(i-2)!(n-i)!} [/mm]

Stimmt das bis hierhin?

Bezug
                        
Bezug
Bernsteinpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 So 10.04.2011
Autor: MathePower

Hallo Solrakt,

> Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
>  
> Ich hab mal versucht, das umzuformen:
>  
> [mm]\bruch{i(i-1)}{n^{2}}\bruch{n!}{i!(n-i)!}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{n^{2}}\bruch{n!}{(i-2)!(n-i)!}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{n}\bruch{(n-1)!}{(i-2)!(n-i)!}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{n-1}{n}\bruch{(n-2)!}{(i-2)!(n-i)!}[/mm]
>  
> Stimmt das bis hierhin?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Bernsteinpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:15 Mo 11.04.2011
Autor: Fulla

Hi,

jetzt mach daraus wieder einen Binomialkoeffizienten.

Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]