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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Gegeben sind die Funktionen [mm] f(x)=1-e^{x} [/mm] und [mm] g(x)=a*e^{-x} [/mm] mit a>0.Die Kurven sollen sich berühren.Berechnen Sie den Parameterwert a,für den sich die Kurven berühren,sowie den Berührpunkt. |
Hallo zusammen^^
Ich hab mich an noch eine Steckbriefaufgabe versucht,ich bin mir aber nicht sicher,ob die so stimmt.
Ich hab zuerst f(x)=g(x) gesetzt
[mm] 1-e^{x}=a*e^{-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{e^{-x}}-\bruch{e^{x}}{e^{-x}}=a
[/mm]
[mm] e^{x}-e^{2x}=a
[/mm]
[mm] -e^{-x}=a
[/mm]
Ich hab dann nochmal f'(x)=g'(x) gesetzt,weil ja auch die Ableitungen für die Berührstelle überinestimmen müssen
[mm] -e^{x}=-a*e^{-x}
[/mm]
[mm] \bruch{e^{x}}{e^{-x}}=a
[/mm]
[mm] e^{2x}=a
[/mm]
Jetzt hab ich 2 verschiedene a-Werte raus und ich weiß nicht welcher stimmt ?
wenn ich die beiden naxh x auflöse,bekomme ich auch 2 Berührpunkte, einer hat den x-Wert x=lna und der andere [mm] x=\bruch{lna}{2}
[/mm]
Aber welcher stimmt denn oder sind beide falsch ?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Nimm den Term $a \ = \ [mm] e^{2x}$ [/mm] und setze diesen in die Gleichung für $f(x) \ = \ g(x)$ .
Anschließend dann nach $x \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
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> Nimm den Term [mm]a \ = \ e^{2x}[/mm] und setze diesen in die
> Gleichung für [mm]f(x) \ = \ g(x)[/mm] .
>
> Anschließend dann nach [mm]x \ = \ ...[/mm] umstellen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
ok,dann hab ich [mm] 1-e^{x}=e^{2x}*e^{-x}
[/mm]
[mm] 1-e^{2x}=e^{2x}
[/mm]
[mm] 1=2e^{2x}
[/mm]
[mm] x=ln\bruch{0.5}{2}
[/mm]
Ist das ok so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Nein, Du wendest hier die  Potenzgesetze falsch an.
Es gilt: [mm] $e^{2x}*e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x+(-x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x-x} [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
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> Nein, Du wendest hier die Potenzgesetze falsch an.
>
> Es gilt: [mm]e^{2x}*e^{-x} \ = \ e^{2x+(-x)} \ = \ e^{2x-x} \ = \ e^x[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
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hmm,stimmt,die muss ich mir mal nochmal anschaun,dann kommt aber x=ln 0.5 raus oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig! Bzw. das ist dasselbe wie [mm] $x_b [/mm] \ = \ [mm] -\ln(2)$ [/mm] .
Und nun damit den Wert $a \ = \ [mm] e^{2x} [/mm] \ = \ ...$ berechnen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
[mm] a=\bruch{1}{4} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Bzw. wenn Du die Gleichung mit [mm] $e^x$ [/mm] multiplizierst, musst Du das auch mit dem Summand $1_$ tun:
[mm] $$1-e^{x} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}*e^{-x} [/mm] \ \ [mm] \left| \ \ * \ e^x$$
$$\blue{e^x}-e^{2x} \ = \ e^{2x}$$
Aber die oben genannte Umformung gemäß [[Potenzgesetz]] führt schneller zum Ziel.
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Mandy,
man kann auch so vorgehen:
[mm]1-e^x=ae^{-x}[/mm] auf beiden Seiten mal [mm]\bruch{1}{a}e^{x}[/mm]
[mm]\bruch{1}{a}(e^{x}-e^{2x})=1[/mm]
[mm]\bruch{1}{a}(e^{x}-e^{2x})-1=0[/mm] die -1 in die Klammer ziehen
[mm]\bruch{1}{a}(e^{x}-e^{2x}-a)=0[/mm] auf beiden Seiten mal -1
[mm]\bruch{1}{a}(e^{2x}-e^{x}+a)=0[/mm]
so nun wollen wir, dass der Term in der Klammer eine binomische Formel ergibt, denn dann haben wir eine doppelte Nullstelle, und das ist eine hinreichende Bedingung fuer einen Beruehrpunkt.
Ich weiss nicht ob du schon mal was von vielfachen Nullstellen gehoert hast, aber ich habe im Abitur immer damit gearbeitet und mir hat es viel geholfen.
Du kannst es dir so vorstellen bei einer doppelten Nullstelle (denk am besten an eine Parabel mit Scheitel auf der x-Achse) beruehrt der Graph nur die x-Achse und schneidet sie nicht.
ok zurrueck zur Aufgabe:
[mm]a=\bruch{1}{4}[/mm] (durch hinschauen, mit einem geuebten Blick fuer binomische Formeln  )
ergibt: [mm]\bruch{1}{a}(e^{2x}-e^{x}+\bruch{1}{4})=0[/mm]
[mm]\bruch{1}{a}(e^{x}-\bruch{1}{2})^2=0[/mm]
wir haben also eine doppelte Nullstelle bei:
[mm]x=ln(\bruch{1}{2})[/mm] wenn [mm]a=\bruch{1}{4}[/mm]
Na ..... was meinst du?
Falls du in naher zukunft eine Klausur hast,
dann benutze lieber deine gewohnte Methode, ich will dich nicht verwirren.
Aber fuer die Zukunft kann ich dir nur empfehlen, so oft wie moeglich anschaulich vorzugehen, und dabei helfen vielfache Nullstellen viel.
Liebe Gruesse,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Andi,
die Methode,die du gezeigt hast,find ich ganz gut,nur bin ich es noch nicht so ganz gewohnt mit solchen Methoden vorzugehen und werde deshalb für die Klausur lieber so vorgehen wie ich es immer mache.
Aber trotzdem finde ich das cool,was du mir gezeigt hast,das mir später auch sicherlich helfen wird =)
lg
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