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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 So 11.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Hat man eine Tangente wie z.B.
g(x) = 0x+0
f(x) = [mm] x^2
[/mm]
so kann man den Berührpunkt herausfinden, indem man
a) f'(x) = g'(x)
2x = 0 Berührpunkt (0|0)
b) f(x) = g(x)
[mm] x^2 [/mm] = 0 Berührpunkt/Schnittpunkt (0|0).
Ich schlussfolgere, dass ich Berührpunkte sowohl mit f(x) = g(x) und f'(x) = g'(x) herausfinden kann.
Nun aber die Frage, warum es bei einer anderen Funktion nicht hinhaut:
g(t) = [mm] 3e^{k*t}
[/mm]
f(t) = [mm] 3e^{k*t} [/mm] *cos(t)
Nun betrachte ich also zwei Ansätze
Berechnung der Schnittpunkte
g(t) = f(t)
[mm] 3e^{k*t} [/mm] = [mm] 3e^{k*t} [/mm] *cos(t) || : [mm] 3e^{k*t}
[/mm]
1 = cos (t) || : cos
arc cos (1) = t
Ergebnis der Schnittpunkte: arc cos (1) = t
Berechnung der Berührünkte
f'(t) = [mm] 3e^{k*t}( [/mm] k*cos(t) - sin(t) )
g'(t) = [mm] 3ke^{k*t}
[/mm]
g'(t) = f'(t)
[mm] 3ke^{k*t} [/mm] = [mm] 3e^{k*t}( [/mm] k*cos(t) - sin(t) ) || [mm] 3e^{k*t}
[/mm]
k = k*cos(t) - sin(t) ||+sin(t)
k + sin (t) = k*cos(t)
Ich möchte nun an dieser Stelle die Rechnung abbrechen, da ich schon sehe, dass die Berührpunkte nicht mit den Schnittpunkten übereinstimmen. Müsste es aber! Also habe ich mich wohl verrechnet? Und wenn ich jetzt diese Gleichung auflöse, so komme ich auch nicht auf das Ergebnis der Schnittpunkte.
Ich habe also zwei unterschiedliche Ergebnisse und das darf nicht
Warum haut die ganze Sache nicht hin bzw. was ist falsch an der ganzen Geschichte?
Vielen Dank schon einmal
Johann
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Hi, Johann,
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> g(t) = [mm]3e^{k*t}[/mm]
> f(t) = [mm]3e^{k*t}[/mm] *cos(t)
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> Nun betrachte ich also zwei Ansätze
> Berechnung der Schnittpunkte
> g(t) = f(t)
> [mm]3e^{k*t}[/mm] = [mm]3e^{k*t}[/mm] *cos(t) || : [mm]3e^{k*t}[/mm]
> 1 = cos (t) || : cos
> arc cos (1) = t
Sag lieber: t = [mm] 2a*\pi [/mm] (mit a [mm] \in \IZ), [/mm] denn es gibt unendlich viele Lösungen!
> Berechnung der Berührünkte
> f'(t) = [mm]3e^{k*t}([/mm] k*cos(t) - sin(t) )
> g'(t) = [mm]3ke^{k*t}[/mm]
>
> g'(t) = f'(t)
> [mm]3ke^{k*t}[/mm] = [mm]3e^{k*t}([/mm] k*cos(t) - sin(t) ) || [mm]3e^{k*t}[/mm]
> k = k*cos(t) - sin(t) ||+sin(t)
> k + sin (t) = k*cos(t)
Und nun setze Deine obigen Lösungen, also: t = [mm] 2a*\pi [/mm] ein!
Beachte dabei:
[mm] cos(2a*\pi) [/mm] = 1 und [mm] sin(2a*\pi) [/mm] = 0.
Du siehst: Die obigen Lösungen führen, wenn man sie einsetzt, zur wahren Aussage: k+0 = k*1.
Was willst Du mehr?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Moin Moin.
> Hi, Johann,
>
> >
> > g(t) = [mm]3e^{k*t}[/mm]
> > f(t) = [mm]3e^{k*t}[/mm] *cos(t)
> >
> > Nun betrachte ich also zwei Ansätze
> > Berechnung der Schnittpunkte
> > g(t) = f(t)
> > [mm]3e^{k*t}[/mm] = [mm]3e^{k*t}[/mm] *cos(t) || : [mm]3e^{k*t}[/mm]
> > 1 = cos (t) || : cos
> > arc cos (1) = t
>
> Sag lieber: t = [mm]2a*\pi[/mm] (mit a [mm]\in \IZ),[/mm] denn es gibt
> unendlich viele Lösungen!
>
> > Berechnung der Berührünkte
> > f'(t) = [mm]3e^{k*t}([/mm] k*cos(t) - sin(t) )
> > g'(t) = [mm]3ke^{k*t}[/mm]
> >
> > g'(t) = f'(t)
> > [mm]3ke^{k*t}[/mm] = [mm]3e^{k*t}([/mm] k*cos(t) - sin(t) ) || [mm]3e^{k*t}[/mm]
> > k = k*cos(t) - sin(t) ||+sin(t)
> > k + sin (t) = k*cos(t)
>
> Und nun setze Deine obigen Lösungen, also: t = [mm]2a*\pi[/mm] ein!
> Beachte dabei:
> [mm]cos(2a*\pi)[/mm] = 1 und [mm]sin(2a*\pi)[/mm] = 0.
>
> Du siehst: Die obigen Lösungen führen, wenn man sie
> einsetzt, zur wahren Aussage: k+0 = k*1.
> Was willst Du mehr?
Danke für diese aufschlußreiche Antwort. Doch leider habe ich es immer noch nicht ganz kapiert: Wieso ist das Ergebnis für t beim Berührpunkt ein anderes als beim Schnittpunkt?
Es müsste doch genau das selbe herauskommen.
> mfG!
> Zwerglein
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mfG Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Unabhängig von dieser Aufgabe:
Dein Vorgehen ist im Allgemeinen falsch!
Ist $g$ eine Funktion und $f$ eine affin-lineare Funktion, dann ist $a$ genau dann ein Berührpunkt an $g$ und besitzt $f$ als Tangente, wenn
$g(a)=f(a)$ und $g'(a) = f'(a)$
gilt. Es muss also beides gelten!
Schließlich können sich eine Funktion und eine Gerade auch echt schneiden, und dann ist die Gerade keine Tangente an die Funktion. Und ebenso kann eine Gerade irgendwo die gleiche Steigung haben wie die Funktion, aber wenn sie diese dann dort nicht schneidet, handelt es sich ebenfalls um keine Tangente an diesem Punkt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Stefan,
hast natürlich Recht, dass dieses Verfahren meist so nicht geht.
Drum als Ergänzung für Phoney:
Erst die Funktionsterme gleichsetzen und so die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte berechnen,
dann überprüfen, für welche davon die Steigung gleich ist:
Dort liegen dann Berührpunkte vor.
Und in Phoneys Beispiel kommt für alle gemeinsamen Punkte (="Schnittpunkte") jeweils die gleiche Steigung raus.
Nun gibt es noch andere Abszissen, bei denen nur die Steigung gleich ist: Gemeinsame Punkte der beiden Graphen sind dies aber nicht: Die zugehörigen Punkte haben zwar gleiche x-, aber unterschiedliche y-Koordinaten.
Ich denke, damit sind Phoneys Probleme gelöst!?
mfG!
Zwerglein
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