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| Aufgabe | Gegeben sei die Kurvenschar
[mm] K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x}.
[/mm]
Wann ist die größte Wachstumsgeschwindigkeit 5? Für welches a? |
Hallo,
habe ich gerade einen Denkfehler oder kann man gar kein a findne, weil ja die erste Ableitung der Funktion gar keinen Hochpunkt hat?
Also [mm] K_a'(x)=40a\cdot e^{-a\cdot x}
[/mm]
Diese Funktion sollte keinen Hochpunkt haben, egal welches a ich einsetze?
Wie löst man dann die Aufgabe?
VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 21.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Gegeben sei die Kurvenschar
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> [mm]K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x}.[/mm]
>
> Wann ist die größte Wachstumsgeschwindigkeit 5? Für
> welches a?
> Hallo,
Huhu,
>
> habe ich gerade einen Denkfehler oder kann man gar kein a
> findne, weil ja die erste Ableitung der Funktion gar keinen
> Hochpunkt hat?
>
> Also [mm]K_a'(x)=40a\cdot e^{-a\cdot x}[/mm]
>
> Diese Funktion sollte keinen Hochpunkt haben, egal welches
> a ich einsetze?
>
> Wie löst man dann die Aufgabe?
>
> VG
Naja, die Geschwindigkeit soll 5 sein, also [mm] K_a'(x) [/mm] = 5.
Die zweite Information ist, dass es sich um die groesste Geschwindigkeit handelt, nicht [mm] $K_a$ [/mm] soll maximal werden, sondern [mm] $K_a'$. [/mm] Hilft das?
Gruss,
Chris
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Hiii,
ja ok, wenn [mm] K_a'(x) [/mm] maximal werden soll, heißt das doch, [mm] K_a''(x)=-40a^2\cdot e^{-ax}=0
[/mm]
Aber diese Funktion hat doch gar keine Nullstelle :-/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 23.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Diese Aufgabe ist wie schon von einigen anderen gesagt, etwas unglücklich gestellt.
Also mal ganz von Beginn an:
Du hast [mm] K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x}
[/mm]
Damit gilt
[mm] K_a'(x)=40a\cdot e^{-a\cdot x}
[/mm]
und
[mm] K_a''(x)=-40a^{2}\cdot e^{-a\cdot x}
[/mm]
Du suchst nun das x, für das [mm] K_{a}'(x)=5
[/mm]
Also gilt:
[mm] 40a\cdot e^{-a\cdot x}=5
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow e^{-ax}=\frac{1}{8a}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -ax=\ln\left(\frac{1}{8a}\right)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x=-\frac{\ln\left(\frac{1}{8a}\right)}{a}
[/mm]
Nennen wir diese Funktion mal f(a)
Nun soll das ganze dann (in Abhängigkeit von a) ein Hochpunkt sein, also muss gelten
f'(a)=0 und f''(a)<0
Nun gilt ja:
[mm] f'(a)=\frac{-1}{8a^{2}}\cdot\frac{-1}{\frac{1}{8a}}=\frac{1}{a}
[/mm]
und damit
[mm] f''(a)=-\frac{1}{a^{2}}
[/mm]
Und das ist für alle a größer als Null, das bedeuet, die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt ist automatisch erfüllt.
Der allgemeine Hochpunkt dieser Funktion [mm] f(a)=-\frac{\ln\left(\frac{1}{8a}\right)}{a} [/mm] hat also die a-Koordinate [mm] \frac{1}{a} [/mm] und nimmt daher den Wert
[mm] f'\left(\frac{1}{a}\right)=-\frac{\ln\left(\frac{1}{8\cdot\frac{1}{a}}\right)}{a}=-\frac{\ln\left(\frac{a}{8}\right)}{a} [/mm] an
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mo 21.11.2016 | | Autor: | rubi |
Hallo,
du hast Recht, die Ableitung wird nicht Null - trotzdem gibt es ein Maximum.
Zeichne mal für verschiedene a-Werte das Schaubild von [mm] K_a. [/mm]
Wo ist die Kurve am steilsten (also wo wird die Ableitung maximal ?)
Stichwort: Randmaximum
Grüße
Rubi
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Komme immer noch nicht weiter. Was sind denn die Randwerte ?? 0 und ..?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mo 21.11.2016 | | Autor: | steve.joke |
Ok. Jetzt habe ich es glaube ich. a müsste 0.125 sein, richtig? Die Steigung ist nämlich immer bei x=0 am steilsten. Danach wird es ja immer flacher.
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Bei x=-1 ist es noch steiler. Wer verbietet x=-1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Di 22.11.2016 | | Autor: | steve.joke |
Ok, ist es x=0, wenn man [mm] x\ge [/mm] 0 vorgibt.
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Das stand aber nicht in deiner ursprünglichen Aufgabenstellung. Du könntest ja jetzt auch noch [mm] x\le [/mm] 7 eingeben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mi 23.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Komme immer noch nicht weiter. Was sind denn die Randwerte
> ?? 0 und ..?
Wenn du in der Aufgabe nicht irgendwelche Einschränkungen hast, sind die Randwerte [mm] $+\infty$ [/mm] und [mm] $-\infty$, [/mm] denn [mm] K_{a}(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x} [/mm] hat mathematisch gesehen keine Einschränkungen bezüglich der Variablen a und x.
Marius
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> Gegeben sei die Kurvenschar
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> [mm]K_a(x)=70-40\cdot e^{-a\cdot x}.[/mm]
>
> Wann ist die größte Wachstumsgeschwindigkeit 5? Für
> welches a?
Die Aufgabe ist unklar gestellt. Randwerte existieren nicht, weil der Bereich nicht eingeschränkt wird. Sie Aufgabe gibt nur auf folgende Weise einen Sinn:
Wenn man zu verschiedenen a die Wachstumsgeschwindigkeit (sprich: Steigung des Graphen) berechnet und an einer bestimmten, festen Stelle x die verschiedenen Wachstumsgeschwindigkeiten zu verschiedenen a-s betrachtet, ist eine davon am größten. Für welches a ist das der Fall? Bei welchem a ist dieser höchste Wert dann 5?
Zur Kontrolle: An der Stelle x hat der Graph mit a=1/x die höchste Steigung. Wenn a=e/8 ist, Ist dieser Wert genau 5.
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