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Hallo!
Bei einer Teilaufgabe stecke ich fest, vielleicht kann mir jemand ein bißchen helfen?
Ich möchte zeigen, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k} [/mm] beschränkt ist. Ich weiß, dass sie gegen ln2 konvergiert, d.h. es reicht wenn ich zeige, dass jedes Folgenglied kleiner als 1 ist, oder? Aber irgendwie komme ich mit dem Term dann nicht ganz klar:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k} [/mm] < 1
wie gehe ich da generell schlau ran?
dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mo 06.12.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin dancingstrella!
wenn du weißt, das deine Reihe konvergent ist, also existiert, hast du nichts mehr zu zeigen, da konvergente Reihen auch beschränkt sind. Schreib also einfach die Grenzwertherleitung auf und gut ist.
Zu deiner Frage ob:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}<1
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}=\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{n+n}
also ist 1 eine obere Schranke der Reihe
und da für alle n, k [mm] \in\IR [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}>0
[/mm]
ist die Reihe auch beschränkt
Die Abschätzung nach unten kannst du noch verbessern indem du den selben Weg wie für die Abschätzung nach oben benutzt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}>n*\bruch{1}{n+n}=\bruch{n}{2n}=\bruch{1}{2}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{1}{2}<\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{n+k}<1
[/mm]
[mm] \to [/mm] beschränkt
MfG zwerg
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