Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n)_{n \ in \IN} [/mm] sei rekursiv definiert durch [mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] (2-a_n)a_n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
Zeigen Sie, dass für alle Folgenglieder, also für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Abschätzungen
0 < [mm] a_n [/mm] < 1 gelten |
Hallo,
folgende Überlegung:
das Infium und Minmum der Folge ist [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] = { [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{3}{4} [/mm] , [mm] \bruch{15}{16} [/mm] , [mm] \bruch{255}{256}..}
[/mm]
Induktionsanfang : Ich nehme [mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Es gilt: 0 < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1
Induktionsvoraussetzung: 0 < [mm] a_n [/mm] < 1
Induktionsschritt(unsicher) :
Wir haben:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] (2-a_n)a_n
[/mm]
0 < [mm] (2-a_n) a_n [/mm] < 1
0 < 2an - [mm] (an)^{2} [/mm] < 1
Wie geht es weiter ?
Vielen Dank im Voraus
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Hallo Doc,
ach, ich liebe mein Laptop und Windows: "Keine Rückmeldung im Firefox" - sorry für die lange Bearbeitungszeit ...
> Die Folge [mm](a_n)_{n \ in \IN}[/mm] sei rekursiv definiert durch
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm](2-a_n)a_n[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1
> Zeigen Sie, dass für alle Folgenglieder, also für alle n
> [mm]\in \IN[/mm] die Abschätzungen
> 0 < [mm]a_n[/mm] < 1 gelten
>
> Hallo,
> folgende Überlegung
> das Infium und Minmum der Folge ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Begründung?
>
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , [mm]\bruch{3}{4}[/mm] ,
> [mm]\bruch{15}{16}[/mm] , [mm]\bruch{255}{256}..}[/mm]
>
> Induktionsanfang : Ich nehme [mm]a_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Es gilt: 0 < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1
>
> Induktionsvoraussetzung: 0 < [mm]a_n[/mm] < 1
>
> Induktionsschritt(unsicher) :
> Wir haben:
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm](2-a_n)a_n[/mm]
>
> 0 < [mm](2-a_n) a_n[/mm] < 1
Na, das wollen wir ja zeigen ...
Ich finde es hilfreich, [mm]a_{n+1}[/mm] etwas umzuschreiben.
Mache quadratische Ergänzung:
[mm]a_{n+1}=(2-a_n)a_n=-a_n^2+2a_n=-(a_n-1)^2+1[/mm]
Nun wissen wir aus der IV: [mm]0
Addieren wir in [mm] $0
[mm]\Rightarrow -1
Multipliziere mit [mm]a_n-1<0[/mm] --> Relationszeichen drehen sich um ...
[mm]\Rightarrow -(a_n-1)>(a_n-1)^2>0[/mm]
alles mal [mm](-1)[/mm]
[mm]\Rightarrow a_n-1<-(a_n-1)^2<0[/mm]
Schaffst du den kleinen Rest?
>
> 0 < 2an - [mm](an)^{2}[/mm] < 1
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> Wie geht es weiter ?
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> Vielen Dank im Voraus
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Do 26.11.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Hey, vielen Dank für deine Hilfe, habs nun verstanden.
Ja, den Rest bekomme ich hin.
Grüße
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