Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 06.12.2012 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] erfülle in [mm] \IR [/mm] die folgende Bedingung:
[mm] a_{m+n}\le a_m [/mm] + [mm] a_n [/mm] für alle [mm] m,n\in\IN.
[/mm]
Zeige, dass die Folge [mm] (\bruch{a_n}{n})_{n\in\IN} [/mm] dann nach oben beschränkt sein muss. |
Hallo!
Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, bedeutet es ja, es gibt so ein [mm] S\in\IR [/mm] mit [mm] \bruch{a_n}{n} \le [/mm] S, für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] (a_n)_n\in\IN [/mm] = [mm] \bruch{a_1}{1}, \bruch{a_2}{2},...,\bruch{a_n}{n}
[/mm]
Und ich würde jetzt einfach sagen, dass die Folgeglieder immer kleiner werden bei wachsendem n und die Folge somit durch das erste Glied mit n=1 nach oben beschränkt ist. Das hab ich aber auch nur durch Ausprobieren mit konkreten Folgen herausgefunden, nur wie man das so allgemein zeigt, weiß ich gerade nicht (und auch nicht wie ich die Bedingung da mit reinbringen soll) ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Do 06.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zero112,
> Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, bedeutet es ja,
> es gibt so ein [mm]S\in\IR[/mm] mit [mm]\bruch{a_n}{n} \le[/mm] S, für alle
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
> [mm](a_n)_n\in\IN[/mm]
[mm] $(\bruch{a_n}{n})_{n\in\IN}$ [/mm] meinst du.
> = [mm]\bruch{a_1}{1}, \bruch{a_2}{2},...,\bruch{a_n}{n}[/mm]
> Und ich würde jetzt einfach sagen, dass die Folgeglieder
> immer kleiner werden bei wachsendem n und die Folge somit
> durch das erste Glied mit n=1 nach oben beschränkt ist.
> Das hab ich aber auch nur durch Ausprobieren mit konkreten
> Folgen herausgefunden, nur wie man das so allgemein zeigt,
> weiß ich gerade nicht (und auch nicht wie ich die
> Bedingung da mit reinbringen soll) ...
Du liegst mit deiner Vermutung richtig.
Zeige induktiv, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n\le n*a_1$.
[/mm]
Daraus folgt dann in der Tat [mm] $\bruch{a_n}{n}\le [/mm] S$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $S:=a_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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