Beschränktheit einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f: [mm] \IR^2 ->\IR [/mm] (x,y)-> [mm] x^2+y^2-e^{xy}
[/mm]
a) Extremstellen (klar!)
b) f ist weder nach unten noch nach oben beschränkt! |
zu b) ich habe mir zuerst die Definition für Beschränktheit gesucht.
nach oben beschränkt: S [mm] \el \IR [/mm] mit f(x,y) [mm] \le [/mm] S (obere Schranke)
untere Schranke: analog
Nun betrachte ich das Verhalten auf der x-Achse:
f (t,0) = [mm] t^2 [/mm] -1
für [mm] t->\infty [/mm] geht f gegen [mm] \infty
[/mm]
und dann kann ich sagen, dass die Funktion nicht nach oben beschränkt ist.
Wie zeige ich Beschränktheit nach unten?
DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]\IR^2 ->\IR[/mm] (x,y)-> [mm]x^2+y^2-e^{xy}[/mm]
> a) Extremstellen (klar!)
> b) f ist weder nach unten noch nach oben beschränkt!
> zu b) ich habe mir zuerst die Definition für
> Beschränktheit gesucht.
> nach oben beschränkt: S [mm]\el \IR[/mm] mit f(x,y) [mm]\le[/mm] S (obere
> Schranke)
> untere Schranke: analog
>
> Nun betrachte ich das Verhalten auf der x-Achse:
> f (t,0) = [mm]t^2[/mm] -1
> für [mm]t->\infty[/mm] geht f gegen [mm]\infty[/mm]
> und dann kann ich sagen, dass die Funktion nicht nach oben
> beschränkt ist.
>
> Wie zeige ich Beschränktheit nach unten?
Du meinst: wie zeigt man, dass f nicht nach unten beschränkt iat ?
Betrachte $f(t,t)$
FRED
> DANKE!
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> > f: [mm]\IR^2 ->\IR[/mm] (x,y)-> [mm]x^2+y^2-e^{xy}[/mm]
> > a) Extremstellen (klar!)
> > b) f ist weder nach unten noch nach oben beschränkt!
> > zu b) ich habe mir zuerst die Definition für
> > Beschränktheit gesucht.
> > nach oben beschränkt: S [mm]\el \IR[/mm] mit f(x,y) [mm]\le[/mm] S
> (obere
> > Schranke)
> > untere Schranke: analog
> >
> > Nun betrachte ich das Verhalten auf der x-Achse:
> > f (t,0) = [mm]t^2[/mm] -1
> > für [mm]t->\infty[/mm] geht f gegen [mm]\infty[/mm]
> > und dann kann ich sagen, dass die Funktion nicht nach
> oben
> > beschränkt ist.
> >
> > Wie zeige ich Beschränktheit nach unten?
>
> Du meinst: wie zeigt man, dass f nicht nach unten
> beschränkt iat ?
>
Ja! Ich habe das nicht vergessen! Tut mir leid!
>
> Betrachte [mm]f(t,t)[/mm]
> Danke für den Tipp. Aber kannst du mir sagen, wieso ich das mache?
Wie komme ich darauf?
DANKE!
> FRED
>
>
> > DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > f: [mm]\IR^2 ->\IR[/mm] (x,y)-> [mm]x^2+y^2-e^{xy}[/mm]
> > > a) Extremstellen (klar!)
> > > b) f ist weder nach unten noch nach oben
> beschränkt!
> > > zu b) ich habe mir zuerst die Definition für
> > > Beschränktheit gesucht.
> > > nach oben beschränkt: S [mm]\el \IR[/mm] mit f(x,y) [mm]\le[/mm] S
> > (obere
> > > Schranke)
> > > untere Schranke: analog
> > >
> > > Nun betrachte ich das Verhalten auf der x-Achse:
> > > f (t,0) = [mm]t^2[/mm] -1
> > > für [mm]t->\infty[/mm] geht f gegen [mm]\infty[/mm]
> > > und dann kann ich sagen, dass die Funktion nicht
> nach
> > oben
> > > beschränkt ist.
> > >
> > > Wie zeige ich Beschränktheit nach unten?
> >
> > Du meinst: wie zeigt man, dass f nicht nach unten
> > beschränkt iat ?
> >
> Ja! Ich habe das nicht vergessen! Tut mir leid!
> >
> > Betrachte [mm]f(t,t)[/mm]
> > Danke für den Tipp. Aber kannst du mir sagen, wieso
> ich das mache?
> Wie komme ich darauf?
Probieren. Wie bist Du auf $f(t,0)$ gekommen ?
FRED
> DANKE!
> > FRED
> >
> >
> > > DANKE!
>
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> > > > f: [mm]\IR^2 ->\IR[/mm] (x,y)-> [mm]x^2+y^2-e^{xy}[/mm]
> > > > a) Extremstellen (klar!)
> > > > b) f ist weder nach unten noch nach oben
> > beschränkt!
> > > > zu b) ich habe mir zuerst die Definition für
> > > > Beschränktheit gesucht.
> > > > nach oben beschränkt: S [mm]\el \IR[/mm] mit f(x,y) [mm]\le[/mm] S
> > > (obere
> > > > Schranke)
> > > > untere Schranke: analog
> > > >
> > > > Nun betrachte ich das Verhalten auf der x-Achse:
> > > > f (t,0) = [mm]t^2[/mm] -1
> > > > für [mm]t->\infty[/mm] geht f gegen [mm]\infty[/mm]
> > > > und dann kann ich sagen, dass die Funktion nicht
> > nach
> > > oben
> > > > beschränkt ist.
> > > >
> > > > Wie zeige ich Beschränktheit nach unten?
> > >
> > > Du meinst: wie zeigt man, dass f nicht nach unten
> > > beschränkt iat ?
> > >
> > Ja! Ich habe das nicht vergessen! Tut mir leid!
> > >
> > > Betrachte [mm]f(t,t)[/mm]
> > > Danke für den Tipp. Aber kannst du mir sagen, wieso
> > ich das mache?
> > Wie komme ich darauf?
>
>
>
> Probieren. Wie bist Du auf [mm]f(t,0)[/mm] gekommen ?
Ich habe mir gedacht, ich halte jetzt einfach mein y fest (=0) und lasse mein x laufen! Richtig?
Idee zu f(t,t):
Ich lasse nun beide Variablen laufen und schaue, was passiert?
Wenn ich das einsetze: f(t,t)= [mm] t^2+t^2-e^{t^2}. [/mm] OK?
Aber wie komme ich hier weiter? Wohin soll ich t nun laufen lassen?
DANKE
>
> FRED
>
>
> > DANKE!
> > > FRED
> > >
> > >
> > > > DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > > > f: [mm]\IR^2 ->\IR[/mm] (x,y)-> [mm]x^2+y^2-e^{xy}[/mm]
> > > > > a) Extremstellen (klar!)
> > > > > b) f ist weder nach unten noch nach oben
> > > beschränkt!
> > > > > zu b) ich habe mir zuerst die Definition für
> > > > > Beschränktheit gesucht.
> > > > > nach oben beschränkt: S [mm]\el \IR[/mm] mit f(x,y)
> [mm]\le[/mm] S
> > > > (obere
> > > > > Schranke)
> > > > > untere Schranke: analog
> > > > >
> > > > > Nun betrachte ich das Verhalten auf der x-Achse:
> > > > > f (t,0) = [mm]t^2[/mm] -1
> > > > > für [mm]t->\infty[/mm] geht f gegen [mm]\infty[/mm]
> > > > > und dann kann ich sagen, dass die Funktion
> nicht
> > > nach
> > > > oben
> > > > > beschränkt ist.
> > > > >
> > > > > Wie zeige ich Beschränktheit nach unten?
> > > >
> > > > Du meinst: wie zeigt man, dass f nicht nach unten
> > > > beschränkt iat ?
> > > >
> > > Ja! Ich habe das nicht vergessen! Tut mir leid!
> > > >
> > > > Betrachte [mm]f(t,t)[/mm]
> > > > Danke für den Tipp. Aber kannst du mir sagen,
> wieso
> > > ich das mache?
> > > Wie komme ich darauf?
> >
> >
> >
> > Probieren. Wie bist Du auf [mm]f(t,0)[/mm] gekommen ?
> Ich habe mir gedacht, ich halte jetzt einfach mein y fest
> (=0) und lasse mein x laufen! Richtig?
>
> Idee zu f(t,t):
> Ich lasse nun beide Variablen laufen und schaue, was
> passiert?
> Wenn ich das einsetze: f(t,t)= [mm]t^2+t^2-e^{t^2}.[/mm] OK?
> Aber wie komme ich hier weiter? Wohin soll ich t nun
> laufen lassen?
Gegen [mm] \infty. [/mm] Was macht dann f(t,t)= [mm]t^2+t^2-e^{t^2}.[/mm] ?
FRED
> DANKE
>
> >
> > FRED
> >
> >
> > > DANKE!
> > > > FRED
> > > >
> > > >
> > > > > DANKE!
> > >
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> > > > > > f: [mm]\IR^2 ->\IR[/mm] (x,y)-> [mm]x^2+y^2-e^{xy}[/mm]
> > > > > > a) Extremstellen (klar!)
> > > > > > b) f ist weder nach unten noch nach oben
> > > > beschränkt!
> > > > > > zu b) ich habe mir zuerst die Definition
> für
> > > > > > Beschränktheit gesucht.
> > > > > > nach oben beschränkt: S [mm]\el \IR[/mm] mit f(x,y)
> > [mm]\le[/mm] S
> > > > > (obere
> > > > > > Schranke)
> > > > > > untere Schranke: analog
> > > > > >
> > > > > > Nun betrachte ich das Verhalten auf der x-Achse:
> > > > > > f (t,0) = [mm]t^2[/mm] -1
> > > > > > für [mm]t->\infty[/mm] geht f gegen [mm]\infty[/mm]
> > > > > > und dann kann ich sagen, dass die Funktion
> > nicht
> > > > nach
> > > > > oben
> > > > > > beschränkt ist.
> > > > > >
> > > > > > Wie zeige ich Beschränktheit nach unten?
> > > > >
> > > > > Du meinst: wie zeigt man, dass f nicht nach unten
> > > > > beschränkt iat ?
> > > > >
> > > > Ja! Ich habe das nicht vergessen! Tut mir leid!
> > > > >
> > > > > Betrachte [mm]f(t,t)[/mm]
> > > > > Danke für den Tipp. Aber kannst du mir sagen,
> > wieso
> > > > ich das mache?
> > > > Wie komme ich darauf?
> > >
> > >
> > >
> > > Probieren. Wie bist Du auf [mm]f(t,0)[/mm] gekommen ?
> > Ich habe mir gedacht, ich halte jetzt einfach mein y
> fest
> > (=0) und lasse mein x laufen! Richtig?
> >
> > Idee zu f(t,t):
> > Ich lasse nun beide Variablen laufen und schaue, was
> > passiert?
> > Wenn ich das einsetze: f(t,t)= [mm]t^2+t^2-e^{t^2}.[/mm] OK?
> > Aber wie komme ich hier weiter? Wohin soll ich t nun
> > laufen lassen?
>
> Gegen [mm]\infty.[/mm] Was macht dann f(t,t)= [mm]t^2+t^2-e^{t^2}.[/mm] ?
>
Was ist dann mit [mm] -\infty? [/mm] Muss ich diesen Fall nicht betrachten?
Für t-> [mm] \infty [/mm] geht f(t,t) gegen [mm] -\infty! [/mm] Richtig?
Wenn das der Fall ist, dann kann ich sagen, dass meine Funktion gegen +/- [mm] \infty [/mm] geht (+ nach oben, - nach unten) und daraus kann ich folgern, dass meine Funktion nicht beschränkt ist (sowohl oben als auch unten)!
Bin ich dann mit meinem Beweis fertig?
Kann ich es bei Funktionen immer so machen, dass ich einmal x laufen lasse (kann ich auch y laufen lassen, oder brauche ich beides?) und dann gegen beide laufen lassen?
DaNKE!
> FRED
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>
> > DANKE
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> > > FRED
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> > > > DANKE!
> > > > > FRED
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> > > > > > DANKE!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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