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Forum "Funktionalanalysis" - Beschränktheit in L-unendlich
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Beschränktheit in L-unendlich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Sa 20.04.2013
Autor: lauralikesmath

Aufgabe
Sei [mm] f\in L^\infty (\Omega) [/mm] und sei f auf ganz [mm] \Omega [/mm] stetig. [mm] \Omega \subset \IR^n. [/mm]

Ist f damit für alle [mm] x\in \Omega [/mm] beschränkt?





Hallo zusammen,

Meine intuitive Antwort auf obige Frage ist Ja, wegen der wesentlichen Beschränktheit - aber einen Beweis schaffe ich nicht.

Ich dachte man kann vllt zeigen, dass aus stetig und unbeschränkt folgt, dass die Funktion nicht in L-unendlich liegen kann. Es gibt ja für alle reellen R eine Teilmenge von Omega, auf der f im Betrag strikt größer ist als R, oder? Aber wie kommt ich da zur wesenltichen Beschränktheit?

Kann jemand helfen? Und stimmt das überhaupt?

Liebe Grüße,
Laura

        
Bezug
Beschränktheit in L-unendlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Sa 20.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Sei [mm]f\in L^\infty (\Omega)[/mm] und sei f auf ganz [mm]\Omega[/mm]
> stetig. [mm]\Omega \subset \IR^n.[/mm]

>

> Ist f damit für alle [mm]x\in \Omega[/mm] beschränkt?



> Meine intuitive Antwort auf obige Frage ist Ja, wegen der
> wesentlichen Beschränktheit - aber einen Beweis schaffe
> ich nicht.


Die Antwort ist "Ja".
Zumindest wenn das zugrundeliegende Maß das Lebesgue-Maß ist.
 
Definiere $M := esssup(f)$.   (*)

Dann gibt es höchstens eine (Lebesgue-)Nullmenge N [mm] \subset \Omega, [/mm] auf welcher die Funktion |f| den Wert $M$ überschreitet.

Mit Hilfe der Stetigkeit der Funktion f ist nun zu zeigen, dass diese Nullmenge die leere Menge sein muss.

Denn angenommen es gäbe $x [mm] \in [/mm] N$.
Dann gilt |f(x)| > M. Wegen der Stetigkeit von f gibt es eine ganze Umgebung [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] von x mit [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in U_\varepsilon(x): [/mm] f(y) > M$.

Das Lebesgue-Maß solch einer Umgebung [mm] U_\varepsilon(x) ist [/mm] aber > 0, und daher entsteht ein Widerspruch zu (*).

Also $N = [mm] \emptyset$. [/mm]


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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