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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mo 07.10.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | | Jede gleichmäßig stetige Funktion [mm]f:\medspace]a,b[ \rightarrow \IR [/mm] ist beschränkt. |
Mein Ansatz:
Sei [mm]f:\medspace]a,b[ [/mm] offen [mm]\rightarrow \IR \medspace \Rightarrow \exists \espilon > 0[/mm] mit [mm] ]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \in \medspace ]a,b[ [/mm].
Daraus folgt: falsche Aussage.
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Hiho,
> Sei [mm]f:\medspace]a,b[[/mm] offen [mm]\rightarrow \IR \medspace \Rightarrow \exists \epsilon > 0[/mm] mit [mm]]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \in \medspace ]a,b[ [/mm].
Das stimmt erst mal…
> Daraus folgt: falsche Aussage.
Du hast erst mal nur eine Folgerung gezogen aus der Eigenschaft, dass $]a,b[$ offen ist.
Wieso sollte daraus sofort ein Widerspruch folgen?
Ganz nebenbei: Die zu zeigende Aussage ist korrekt… f lässt sich sogar auf $[a,b]$ stetig fortsetzen… habt ihr neben der Definition der glm. Stetigkeit denn schon Sätze gezeigt?
Geh am besten wie folgt vor:
1.) Zeige: f bildet Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen ab
2.) Folgere daraus: f lässt sich stetig auf [a,b] fortsetzen.
3.) Was weißt du über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen?
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Di 08.10.2019 | | Autor: | fred97 |
Ohne den Satz, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen dort gleichmäßig stetig sind, kann man die Aufgabe auch so lösen:
Sei $ [mm] f:\medspace]a,b[ \rightarrow \IR [/mm] $ gleichmäßig stetig. Wir nehmen an, dass $f$ nicht beschränkt ist. Zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ex. dann ein [mm] $x_n \in [/mm] ]a,b[$ mit [mm] $|f(x_n)|>n.$
[/mm]
Damit haben wir
(1) die Folge [mm] $(f(x_n))$ [/mm] ist unbeschränkt.
Wegen Bolzano- Weierstraß können wir annehmen, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergiert, also eine Cauchyfolge ist.
Nun sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Es gibt ein [mm] \delta [/mm] >0 so, dass
(2) $|f(x)-f(y)| [mm] <\epsilon$ [/mm] ist für alle $x,y [mm] \in [/mm] ]a,b[$ mit $|x-y| < [mm] \delta.$
[/mm]
Es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $|x_n-x_m|< \delta$ [/mm] für $n,m>N.$ Aus (2) folgt dann
[mm] $|f(x_n)-f(x_m)|< \epsilon$ [/mm] für $n,m>N.$
[mm] $(f(x_n))$ [/mm] ist also eine Cauchyfolge, und damit beschränkt, im Widerspruch zu (1).
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