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| Aufgabe | | Beschreiben Sie die durch [mm] e^{z} [/mm] gegebene Abbildung des Rechtecks {x+iy | 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1, 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \pi [/mm] } in [mm] \IC. [/mm] |
Hallo,
ich kann mir bei der Aufgabe nicht vorstellen, was die Bildmenge sein soll, weil ich hier auch nicht ganz verstehe, wie die Aufgabenstellung gemeint ist. Wie ergibt sich hier ein Rechteck? Muss ich hier in [mm] e^{z} [/mm] für z verschiedene Werte einsetzen?
Es wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
Vielen Dank!
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 19.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Beschreiben Sie die durch [mm]e^{z}[/mm] gegebene Abbildung des
> Rechtecks [mm]\{x+iy \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \pi \}[/mm] in [mm]\IC[/mm].
>
> Hallo,
> ich kann mir bei der Aufgabe nicht vorstellen, was die
> Bildmenge sein soll, weil ich hier auch nicht ganz
> verstehe, wie die Aufgabenstellung gemeint ist. Wie ergibt
> sich hier ein Rechteck?
Wenn du die komplexe Zahlenebene [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizierst (indem du eine komplexe Zahl $a + i b [mm] \in \IC$ [/mm] als Vektor $(a, b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] auffassts), dann ist die angegebene Menge [mm]R := \{x+iy \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \pi \}[/mm] ein Rechteck. Versuch das doch mal aufzumalen.
> Muss ich hier in [mm]e^{z}[/mm] für z
> verschiedene Werte einsetzen?
Genau, und zwar die Werte aus $R$.
> Es wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
Benutze die Eulerformel: [mm] $e^{i x} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x + i [mm] \sin [/mm] x$ fuer reelle $x$: es ist [mm] $e^{x + i y} [/mm] = [mm] e^x \cdot e^{i y} [/mm] = [mm] e^x \cdot (\cos [/mm] y + i [mm] \sin [/mm] y)$. Wenn $y$ jetzt zwischen 0 und [mm] $\pi$ [/mm] laeuft, dann macht [mm] $e^{x + i y}$ [/mm] also einen Halbkreis mit Radius [mm] $e^x$ [/mm] (und zwar den Halbkreis oberhalb der $x$-Achse). Und $x$ durchlaeuft die Werte 0 bis 1, also [mm] $e^x$ [/mm] die Werte $1$ bis $e$.
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Do 19.04.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Hilfe.
Milka
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