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Hallo!
Ich habe diese Aufgabe zu lösen und brauche dringend Hilfe:
Sei n aus der Menge der natürlichen Zahlen inclusive der Null. Zeigen sie, dass die Bessel'sche Differentialgleichung
[mm] [mm] x^2(J_{n})^{''}(x) [/mm] + [mm] x(J_{n})^{'}(x) [/mm] + [mm] (x^2 [/mm] - [mm] n^2)J_{n}(x) [/mm] = 0 ; x [mm] \in \IR [/mm] [mm/]
;eine nicht verschwindende Lösung [mm] J_{n} [/mm] besitzt, die sich in eine Potenzreihe um Null
entwickeln läßt. (Diese Lösung ist nur bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig
festgelegt!) Zeigen sie ferner, dass [mm] J_{n} [/mm] eine positive Nullstelle besitzt.
Hilfe! Ich habe keine Ahnung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Frank,
ich würde ja mal einfach ansetzten [mm] $J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k$, [/mm] da ja angeblich eine Potenzreihenentwicklung um [mm] $x_0=0$ [/mm] existiert. Dann kannst du auch $J'_n$ und $J''_n$ bestimmen. Da die Gleichung für alle $x$ rfüllt sein muss, müssen alle Koeffizienten der so entstehenden Reihe verschwinden - daraus solltest du eine Bestimmungsgleichung für die [mm] $a_k$ [/mm] herleiten können.
Gruß Max
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Danke erstmal für die schnelle Hilfe, aber könnten sie mir vielleicht die entscheidenen Schritte vorrechnen?
Ich habs versucht, komme aber einfach nicht klar!
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Hallo Deuterinomium,
> Danke erstmal für die schnelle Hilfe, aber könnten sie mir
> vielleicht die entscheidenen Schritte vorrechnen?
der Ansatz lautet ja [mm]J_{n} \left( x \right)\; = \;\sum\limits_{k = 0}^{\infty} {a_{k} \;x^{k} } [/mm]. Zunächst werden die ersten und zweiten Ableitungen dieses Ausdruckes berechnet:
[mm]\begin{gathered}
J_{n} '\left( x \right)\; = \;\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {k\;a_{k} \;x^{k} } \hfill \\
J_{n} ''\left( x \right)\; = \;\sum\limits_{k = 2}^{\infty} {k\;\left( {k\; - \;1} \right)\;a_{k} \;x^{k} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dies wird jetzt in die Differentialgleichung eingesetzt:
[mm]\begin{gathered}
x^{2} \;\sum\limits_{k = 2}^{\infty} {k\;\left( {k\; - \;1} \right)\;a_{k} \;x^{k} } \; + \;x\;\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {k\;a_{k} \;x^{k} } \; + \;\left( {x^{2} \; - \;n^{2} } \right)\;\sum\limits_{k = 0}^{\infty} {a_{k} \;x^{k} } \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\sum\limits_{k = 2}^{\infty} {k\;\left( {k\; - \;1} \right)\;a_{k} \;x^{k + 2} } \; + \;\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {k\;a_{k} \;x^{k + 1} } \; + \;\sum\limits_{k = 0}^{\infty} {a_{k} \;x^{k + 2} \; - \;n^{2} \;} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} {a_{k} \;x^{k} } \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die einzelnen Koeffizienten lassen nur vergleichen, wenn diese die gleiche Potenz aufweisen. Daraus ergibt sich dann eine Bedingungsgleichung für die [mm]a_{k}[/mm].
Probiere jetzt mal die Bedingungsgleichung für die [mm]a_{k}[/mm] aufzustellen.
Gruß
MathePower
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Bis da hin bin ich selber auch fast gekommen nur habe ich die Grenzen immer zu k=0 umgeformt. Aber wie komme ich jetzt auf die Bedingungsgleichung? Ich kann nicht so gut mit Summen umgehen!
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Hallo,
> Bis da hin bin ich selber auch fast gekommen nur habe ich
> die Grenzen immer zu k=0 umgeformt. Aber wie komme ich
> jetzt auf die Bedingungsgleichung? Ich kann nicht so gut
> mit Summen umgehen!
[mm]\begin{array}{l}
\sum\limits_{{\rm{k = 2}}}^{\infty} {k\;\left( {k\; - \;1} \right)\;a_{k} \;x^{k} \; + \;} \sum\limits_{{\rm{k = 1}}}^{\infty} {k\;a_{k} \;x^{k} \; + \;} \sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\infty} {a_{k} \;x^{k + 2} \; - \;n^{2} \;\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\infty} {a_{k} \;x^{k} \; = \;0\;\;} \;\;} \; \\
\\
\end{array}[/mm]
Setzen wir die Potenz l, so folgt:
Für die 1. Summe gilt k = l
Für die 2. Summe gilt k = l
Für die 3. Summe gilt k +2 = l => k = l-2
Für die 4. Summe gilt k = l
Hieraus folgt nun:
[mm]\begin{array}{l}
l\;\left( {l\; - \;1} \right)\;a_{l} \; + \;l\;a_{l} \; + \;a_{l - 2} \; - \;n^{2} \;a_{l} \; = \;0 \\
\Rightarrow \;\left( {l^{2} \; - \;n^{2} } \right)\;a_{l} \; + \;a_{l - 2} \; = \;0 \\
\Leftrightarrow \;a_{l} \; = \; - \;\frac{{a_{l - 2} }}{{l^{2} \; - \;n^{2} }} \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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