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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 09.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei V endlich-dimensionaler unitärer VR und [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n} [/mm] Orthonormalsystem von V
Beweisen Sie: [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V gilt: <w,w> [mm] \ge \summe_{i=1}^{n} [/mm] |<w, [mm] v_{i}>|^2
[/mm]
Und es gilt genau dann Gleichheit, wenn [mm] \{v_{1}, ..., v_{n}\} [/mm] eine Basis von V ist. |
Hallo,
Also ich weiß hier einfach nicht, wie ich konkret ansetzen muss: Klar, <w,w> = [mm] ||w||^2 [/mm] und nach Cauchy-Schwarzscher Ungleichung ist |<w, [mm] v_{i}>|^2 \le *.
[/mm]
Außerdem sind die [mm] v_{i} [/mm] i=1,...,n linear unabhängig wegen Ortonormalsystem.
Aber was hiervon hilft mir bei dem Beweis weiter, ich seh einfach keinen sinnvollen Anfang.
Wäre für Tipps sehr dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: sei $ [mm] \{v_{1}, ..., v_{n}\} [/mm] $ eine Basis von V.
Für w [mm] \in [/mm] V setze
$a:= w [mm] -\summe_{i=1}^{n}v_i$
[/mm]
Dann siehst Du sofort: [mm] $ [/mm] = 0 (i=1, ...,n)$
Da $ [mm] \{v_{1}, ..., v_{n}\} [/mm] $ eine Basis von V ist, folgt $<a,b> = 0 $ für jedes b [mm] \in [/mm] V.
Insbesondere: $<a,a> = 0$. jetzt mach Du weiter.
FRED
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