Besselsche Ungleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Di 25.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] e_i , i \in \mathbb N [/mm] ein Orthonormalsystem im Hilbertraum H. Zeigen Sie:
Für [mm] x \in H [/mm] gilt
[mm] \summe_{ i \in \mathbb N } \| \langle x,e_{i} \rangle \|^{2}\le \left| x \right| ^{2}
[/mm] |
Guten Tag!
Als erstes vorweg: Ich weiß nicht ob das ein momentan allgemein auftretendes Problem ist, aber ich kann leider bei der "Vorschau" meiner Frage nicht die Zeilen, die mit dem Formelsystem geschreiben wurden, einsehen... Deswegen hoffe ich jetzt einfach, dass keine Tippfehler meinserseits auftreten und alles korrekt von mir geschreiben wurde.
So, nun zur Aufgabe:
Ich habe ein wenig in der Literatur gelesen und festgestellt, dass es sich hier im die Besselsche Ungleichung handelt, soweit ich das richtig sehe. Ich bin auch dabei auf ein Beweis gestoßen, welcher recht einfach erscheint, meiner Meinung nach, vorsichtig ausgedrückt aber nicht 100%ig richtig ist. Deswegen bitte ich nur den Beweis sich anzuschauen, und meine Vermutung entweder zu bestätigen oder zu verneinen...
Zum Beweis:
Es sei [mm] (e_{i})_{ i \in \mathbb N } [/mm] Orthonormalbasis, [mm] \left| x \right| = \wurzel{ \langle x,x \rangle } [/mm] für [mm] x \in H [/mm].
Wegen der Tatsache, dass [mm] \langle x_{n} , x_{n}^{ \bot } \rangle = 0 [/mm] , gilt nach Pythagoras
[mm] \left| x \right|^{2} = \langle x_{n} + x_{n}^{\bot} , x_{n} + x_{n}^{ \bot } \rangle = \left| x_{n} \right| + \left| x_{n}^{\bot} \right|
= \summe_{i = 1}^{n} \| \langle e_{i} , x \rangle \|^{2} + \left| x_{n}^{ \bot } \right| [/mm]
Dies impliziert die Ungleichung.
Frage: Muss das nicht eigentlich so ausschauen [mm]
\left| x \right|^{2} = \langle x_{n} + x_{n}^{\bot} , x_{n} + x_{n}^{ \bot } \rangle = \left| x_{n} \right|^{2} + \left| x_{n}^{\bot} \right|^{2}
= \summe_{i = 1}^{n} \| \langle e_{i} , x \rangle \|^{2} + \left| x_{n}^{ \bot } \right|^{2} [/mm]
Also, konkret, fehlen nicht die Quadrate?
Danke für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Di 25.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
ja, korrekt wäre
[mm]
\left| x \right|^{2} = \langle x_{n} + x_{n}^{\bot} , x_{n} + x_{n}^{ \bot } \rangle = \left| x_{n} \right|^{2} + \left| x_{n}^{\bot} \right|^{2}
= \summe_{i=1}^n \| \langle e_{i} , x \rangle \|^{2} + \left| x_{n}^{ \bot } \right|^{2}[/mm]
Die Ungleichung folgt dann wegen [mm] $\left| x_{n}^{ \bot } \right|^{2} \ge [/mm] 0$.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Di 25.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Frohe Weihnachten,
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Di 25.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
zwei Sachen noch:
Bei Deinem Beweis musst Du ein wenig aufpassen, ob er sich so auch auf unendlich dimensionale Hilberträume übertragen läßt.
Denn der von Dir übernommene Beweis gilt eigentlich für einen unitären Raum mit endlich-dimensionalen Unterraum:
Skriptum
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/linalg.pdf
S. 112
Also eigentlich musst Du da noch ein wenig mehr machen bzw. begründen, oder sollte in der Anfangsungleichung anstatt [mm] $\sum_{i \in \IN}$ [/mm] doch [mm] $\sum_{i=1}^n$ [/mm] stehen (mit beliebigem, aber festem $n [mm] \in \IN$)? [/mm] So kenne ich das nämlich eigentlich auch nur...?! Dann ist der Beweis so okay.
Und bei Deiner Rechnung müßte man eigentlich wissen, was dort [mm] $x_n$ [/mm] etc. ist, aber in obigem Skript findest Du den Beweis für unitäre Räume mit endlich dimensionalem Teilraum ausführlich...
Also bei Deiner Rechnung ist mir nicht ganz klar, was da wieso gerechnet wird, aber es ist jedenfalls klar, dass dort Quadrate verschlampt worden sind...
P.S.:
http://www.maphy.uni-tuebingen.de/lehre/ss-2006/fourieranalysis/scripts/FourieranalysisKap2.pdf
Seite 2
Ist das das Skript?
P.P.S.:
Das passt eigentlich eher genau zu Deiner Aufgabe:
http://www.math.uni-sb.de/ag/albrecht/ws07_08/fa1/files/vorl.pdf
Seite 25
Wenn Du Dir das anguckst, so wirst Du sehen, dass man nicht viel abändern muss, um von [mm] $\sum_{i=1}^n$ [/mm] zu [mm] $\sum_{i \in \IN}$ [/mm] zu gelangen, nichtsdestotrotz sollte man diese kleinen Überlegungen anstellen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Di 08.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Marcel!
Ich melde mich leider sehr spät zurück ( Urlaub und leider auch was kränklich gewesen ). Danke für Deine Überlegungen.
Als erstes :
> Hallo Irmchen,
>
> zwei Sachen noch:
> Bei Deinem Beweis musst Du ein wenig aufpassen, ob er sich
> so auch auf unendlich dimensionale Hilberträume übertragen
> läßt.
> Denn der von Dir übernommene Beweis gilt eigentlich für
> einen unitären Raum mit endlich-dimensionalen Unterraum:
> Skriptum
> http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/linalg.pdf
> S. 112
Ja, genau dass machte mir auch noch Kopfzerrbrechen :-(.
> Also eigentlich musst Du da noch ein wenig mehr machen bzw.
> begründen, oder sollte in der Anfangsungleichung anstatt
> [mm]\sum_{i \in \IN}[/mm] doch [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] stehen (mit beliebigem,
> aber festem [mm]n \in \IN[/mm])? So kenne ich das nämlich eigentlich
> auch nur...?! Dann ist der Beweis so okay.
Also in unserer Aufgabenstellung steht ja eigentlich [mm] \sum_{i \in \IN}[/mm] , und ich habe versucht das so zu übertragen... Und bin mir schon fast sicher gewesen, dass das ein Hacken bei der Rechnung ist, nur wusste ich nicht wo und wie ich dies beheben könnte und allgemein für unendlich dimensionale Hilberträume übertragen kann :-(.
>
> Und bei Deiner Rechnung müßte man eigentlich wissen, was
> dort [mm]x_n[/mm] etc. ist, aber in obigem Skript findest Du den
> Beweis für unitäre Räume mit endlich dimensionalem Teilraum
> ausführlich...
> Also bei Deiner Rechnung ist mir nicht ganz klar, was da
> wieso gerechnet wird, aber es ist jedenfalls klar, dass
> dort Quadrate verschlampt worden sind...
>
> P.S.:
>
> http://www.maphy.uni-tuebingen.de/lehre/ss-2006/fourieranalysis/scripts/FourieranalysisKap2.pdf
> Seite 2
>
> Ist das das Skript?
Genau!
> P.P.S.:
> Das passt eigentlich eher genau zu Deiner Aufgabe:
>
> http://www.math.uni-sb.de/ag/albrecht/ws07_08/fa1/files/vorl.pdf
> Seite 25
>
> Wenn Du Dir das anguckst, so wirst Du sehen, dass man nicht
> viel abändern muss, um von [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] zu [mm]\sum_{i \in \IN}[/mm]
> zu gelangen, nichtsdestotrotz sollte man diese kleinen
> Überlegungen anstellen.
Hier verstehe ich leider nicht, was Du damit meinst... Viellecht kannst Du mir das ein wenig näher erläutern, wäre super!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
> > P.P.S.:
> > Das passt eigentlich eher genau zu Deiner Aufgabe:
> >
> >
> http://www.math.uni-sb.de/ag/albrecht/ws07_08/fa1/files/vorl.pdf
> > Seite 25
> >
> > Wenn Du Dir das anguckst, so wirst Du sehen, dass man nicht
> > viel abändern muss, um von [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] zu [mm]\sum_{i \in \IN}[/mm]
> > zu gelangen, nichtsdestotrotz sollte man diese kleinen
> > Überlegungen anstellen.
>
> Hier verstehe ich leider nicht, was Du damit meinst...
> Viellecht kannst Du mir das ein wenig näher erläutern, wäre
> super!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
schau einfach mal genau in die Formulierungen. In dem Skript aus Trier steht etwas von einem endlichen Teilraum...
In dem nächsten Skript steht etwas von einer Orthonormalfolge und dass die Ungleichung für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
Und in dem letzten Skript steht die meiner Ansicht nach allgemeinste Version. Schau Dir das mal in dem Skript an.
Dort steht z.B., was überhaupt [mm] $\sum_{i \in I}$ [/mm] ist, nämlich [mm] $sup_{F \in \mathfrak{F}(I)}\sum_{i \in F}$ [/mm] usw.
Was dort dieses [mm] $\mathfrak{F}(I)$ [/mm] ist, steht direkt über dem Satz (die Menge aller endlichen Teilmengen von I). Und [mm] $F_0 \in \mathfrak{F}(I)$ [/mm] heißt dann, dass [mm] $F_0$ [/mm] (irgend)eine endliche Teilmenge von $I$ ist.
Naja, aber ich denke, so allgemein brauchst Du das nicht:
Wenn bei Dir eine Orthonormalfolge gegeben ist, so könntest Du das mit dem korrigierten Beweis von Dir durchaus beweisen. Wenn für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass für eine Folge $( [mm] a_k )_k$ [/mm] dann [mm] $\sum_{k=1}^n |a_k| \le [/mm] M$ mit einem festen $M > 0$, so folgt natürlich insbesondere dann wegen der Konvergenz der Folge [mm] $\left(\sum_{k=1}^n |a_k| \right)_{n \in \IN}$, [/mm] dass
[mm] $\sum_{k=1}^\infty |a_k| \le [/mm] M$ gilt. Und hierbei ist
[mm] $\sum_{k=1}^\infty |a_k|=\sum_{k \in \IN} |a_k|$ [/mm]
dann das gleiche, wobei man bei dem Ausdruck [mm] $\sum_{k \in \IN}$ [/mm] eine etwas allgemeinere Definition zugrunde legen kann, z.B. mittels
[mm] $sup_{F \in \mathfrak{F}(\IN)} \sum_{k \in F}...$
[/mm]
Es hängt auch alles ein wenig davon ab, wie ihr die Begriffe bisher kennengelernt habt bzw. inwieweit das bei Euch verallgemeinert wurde. Ich meine, wenn ich schreibe:
[mm] $\sum_{k \in \{1,2,3\}} a_k$, [/mm] dann kann das bedeuten:
[mm] $a_1+a_2+a_3$, [/mm] oder [mm] $a_3+a_2+a_1$, [/mm] oder [mm] $a_2+a_1+a_3$ [/mm] oder...
Bei so einer endlichen Menge (die unter dem Summenzeichen) ist das egal, weil alle diese Summen mit [mm] $a_1+a_2+a_3=\sum_{k=1}^3 a_k$
[/mm]
übereinstimmen.
Für nichtendliche Mengen ist das nicht mehr ganz so leicht, denn man braucht z.B. Aussagen über die Vertauschbarkeit der Summanden, und man hat ja schonmal eine Reihe gesehen, die konvergiert, aber wenn man die Reihenfolge der Summanden abändert, einen anderen Grenzwert hat.
Wie gesagt, ganz allgemein findest Du jedenfalls die Besselsche Ungleichung + Beweis in dem letzten Skript formuliert.
Dass es zwischen den einzelnen Versionen der Formulierung starke Zusammenhänge gibt, ist natürlich klar. Aber bei dem letzten Skript hat man wegen
[mm] $\sum_{i \in I}=sup_{F \in \mathfrak{F}(I)}\sum_{i \in F}$
[/mm]
natürlich erstmal zu zeigen, dass die Besselsche Ungleichung für eine jede endliche Teilmenge von $I$ gilt, und dass daraus folgt, dass sie dann auch für [mm] $sup_{F \in \mathfrak{F}(I)}\sum_{i \in F}$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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