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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bestimme Extrema mehr. Variabl
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Bestimme Extrema mehr. Variabl: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 So 28.06.2015
Autor: mathsnoob

Aufgabe
f: [mm] \IR \mapsto \IR² [/mm]
f(x,y):= [mm] y^2-3x^²y+2x^4 [/mm]       P:=(0,0)

zz.
a) für jeden Vektor [mm] a=(a_{1},a_{2}) \in \IR² [/mm] \ {[0,0]} hat die Funktion
    [mm] g_{a}: \IR \mapsto \IR [/mm]  
     [mm] g_{a}:= [/mm] f(p+ta) in t= 0
    ein isoliertes lokales Minimum.
b) f nimmt in p=(0,0) kein Lokales Minimum an tipp:
    f(0,0)=0 Nutze f(x,y)=(2x²-y)(x²-y) umzu zeigen, dass f in jeder Umgebung von (0,0) sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

erstmal nur Hilfe bei a).

1.Mein Problem ist es das Bild der Funktion f in g zu verwenden.

Lsgansatz:
Idee lt. VL: f in p lokales Extrema, dann ist p kritischer Punkt. zusätzlich Hesse Matrix definit -> isoliertes Extrema

betrachte (p+ta) als x bzw. y Variable und setze in f(x,y) ein:
[mm] g_{a}:= (p+ta_{1})^2-3(p+ta_{2})^2(p+a_{1})+2(p+ta_{2})^4 [/mm]

Dies hab ich ausmultipliziert (mit Rechner -zum Abgleich tun Sie das gleiche bitte)
Für den langen Term den Punkt p:=(0,0) eingesetzt, wodurch übrig bleibt:
[mm] g_{a}(p=0,p=0):=a_{1}^2t^2-6a_{2}^2t-3a_{1}a_{2}^2t^3+2a_{2}^4t^4 [/mm]

Bestimme: grad g(...?...) = 0  
Nach welcher Variablen? grad [mm] g_{a}(a_{1}^2t^2-6a_{2}^2t-3a_{1}a_{2}^2t^3+2a_{2}^4t^4)= [/mm] 0 <=> [mm] 2a_{1}t^2-3a_{2}^2t^3=0 [/mm] und [mm] -12a_{2}t-6a_{1}a_{2}t^3+8a_{2}^3t^4=0 [/mm]
<=> [mm] a_{1}=0 [/mm] und [mm] a_{2}=0, [/mm] d.h. grad g = 0, falls a=0. (mhhh, damit kann ich wohl nicht die Hesse Matrix Aufstellen. 2 Wo liegt der Fehler?)



        
Bezug
Bestimme Extrema mehr. Variabl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 So 28.06.2015
Autor: hippias

[willkommenvh]
Die Menge [mm] $\{p+ta\vert t\in \IR\}$ [/mm] beschreibt fuer festes $p$ und [mm] $a\neq [/mm] 0$ eine affine Gerade. Anschaulich bedeutet [mm] $g_{a}(t)= [/mm] f(p+ta)$, dass die Funktion $f$ auf diese Gerade eingeschraenkt wird.

Der Zweck dieser Uebung scheint in Erkenntnis zu liegen, dass eine Funktion $f$ eingeschraenkt auf alle moeglichen Geraden durch einen Punkt in diesem Punkt einen Extrempunkt haben kann, aber als Funktion der Ebene in diesem Punkt trotzdem keinen Extrempunkt besitzt.
Moral: man huete sich zu sehr der Anschauung und gesundem Menschenverstand zu vertrauen. Ein mehrdimensionales Problem laesst sich nicht immer auf $1$-dimensionale reduzieren.

Zur Verdeutlichung ein Beispiel: Sei $a=(4,-2)$. Dann ist [mm] $g_{a}(t)= [/mm] f(p+ta)= f((0,0)+t(4,-2))= f(4t,-2t)= [mm] (-2t)^{2}-3(4t)^{2}(-2t)+2(4t)^{4}$. $g_{a}$ [/mm] ist also eine Funktion von $t$ und wird auch nach $t$ abgeleitet. Du sollst das aber fuer beliebiges $a$ durchfuehren.

Bezug
                
Bezug
Bestimme Extrema mehr. Variabl: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 So 28.06.2015
Autor: mathsnoob

mit deinem Hinweis klappt es gut:

[mm] g_{a}=f(p+ta)=f((0,0)+t(a_{1}a_{2}))=(a_{2}t)^2-3(a_{1}t)^2(a_{2}t)+2a_{1}t [/mm]
grad [mm] g_{a}(a_{2}^2t^2-3a_{1}^2a_{2}t^3+2a_{1}t):= -9a_{1}^2a_{2}t^2+2a_{2}^2t+a_{1} [/mm]

Nach Nullsetzen: t= [mm] \bruch{-2a_{2}\pm\wurzel{72a_{1}^3a_{2}+4a_{2}^4}}{18a_{1}^2a_{2}} [/mm]
t ist lang und undurchsichtig.

Hess [mm] g_{a}(t_{0})=-18a_{1}^2a_{2}t+2a_{2}^2= 2a_{2}(a_{2}-9a_{1}^2t) [/mm]

beide t einsetzen: fällt schwer bei dem großen t, gibts da ein Trick?


Bezug
                        
Bezug
Bestimme Extrema mehr. Variabl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 So 28.06.2015
Autor: fred97


> mit deinem Hinweis klappt es gut:
>  
> [mm]g_{a}=f(p+ta)=f((0,0)+t(a_{1}a_{2}))=(a_{2}t)^2-3(a_{1}t)^2(a_{2}t)+2a_{1}t[/mm]



Das stimmt doch nicht ! Am Ende sollte stehen [mm] +2a_{1}t^4 [/mm]




>  grad [mm]g_{a}(a_{2}^2t^2-3a_{1}^2a_{2}t^3+2a_{1}t):= -9a_{1}^2a_{2}t^2+2a_{2}^2t+a_{1}[/mm]
>  
> Nach Nullsetzen: t=
> [mm]\bruch{-2a_{2}\pm\wurzel{72a_{1}^3a_{2}+4a_{2}^4}}{18a_{1}^2a_{2}}[/mm]
>  t ist lang und undurchsichtig.
>  
> Hess [mm]g_{a}(t_{0})=-18a_{1}^2a_{2}t+2a_{2}^2= 2a_{2}(a_{2}-9a_{1}^2t)[/mm]
>  
> beide t einsetzen: fällt schwer bei dem großen t, gibts
> da ein Trick?
>  


Es ist ganz einfach: setze [mm] g_a(t):=f(p+ta) [/mm] und zeige:

   [mm] g_a'(0)=0 [/mm]  und [mm] g_a''(0)>0. [/mm]

FRED

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