Bestimme Extrema mehr. Variabl < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f: [mm] \IR \mapsto \IR²
[/mm]
f(x,y):= [mm] y^2-3x^²y+2x^4 [/mm] P:=(0,0)
zz.
a) für jeden Vektor [mm] a=(a_{1},a_{2}) \in \IR² [/mm] \ {[0,0]} hat die Funktion
[mm] g_{a}: \IR \mapsto \IR [/mm]
[mm] g_{a}:= [/mm] f(p+ta) in t= 0
ein isoliertes lokales Minimum.
b) f nimmt in p=(0,0) kein Lokales Minimum an tipp:
f(0,0)=0 Nutze f(x,y)=(2x²-y)(x²-y) umzu zeigen, dass f in jeder Umgebung von (0,0) sowohl positive als auch negative Werte annimmt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
erstmal nur Hilfe bei a).
1.Mein Problem ist es das Bild der Funktion f in g zu verwenden.
Lsgansatz:
Idee lt. VL: f in p lokales Extrema, dann ist p kritischer Punkt. zusätzlich Hesse Matrix definit -> isoliertes Extrema
betrachte (p+ta) als x bzw. y Variable und setze in f(x,y) ein:
[mm] g_{a}:= (p+ta_{1})^2-3(p+ta_{2})^2(p+a_{1})+2(p+ta_{2})^4
[/mm]
Dies hab ich ausmultipliziert (mit Rechner -zum Abgleich tun Sie das gleiche bitte)
Für den langen Term den Punkt p:=(0,0) eingesetzt, wodurch übrig bleibt:
[mm] g_{a}(p=0,p=0):=a_{1}^2t^2-6a_{2}^2t-3a_{1}a_{2}^2t^3+2a_{2}^4t^4
[/mm]
Bestimme: grad g(...?...) = 0
Nach welcher Variablen? grad [mm] g_{a}(a_{1}^2t^2-6a_{2}^2t-3a_{1}a_{2}^2t^3+2a_{2}^4t^4)= [/mm] 0 <=> [mm] 2a_{1}t^2-3a_{2}^2t^3=0 [/mm] und [mm] -12a_{2}t-6a_{1}a_{2}t^3+8a_{2}^3t^4=0
[/mm]
<=> [mm] a_{1}=0 [/mm] und [mm] a_{2}=0, [/mm] d.h. grad g = 0, falls a=0. (mhhh, damit kann ich wohl nicht die Hesse Matrix Aufstellen. 2 Wo liegt der Fehler?)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 28.06.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Die Menge [mm] $\{p+ta\vert t\in \IR\}$ [/mm] beschreibt fuer festes $p$ und [mm] $a\neq [/mm] 0$ eine affine Gerade. Anschaulich bedeutet [mm] $g_{a}(t)= [/mm] f(p+ta)$, dass die Funktion $f$ auf diese Gerade eingeschraenkt wird.
Der Zweck dieser Uebung scheint in Erkenntnis zu liegen, dass eine Funktion $f$ eingeschraenkt auf alle moeglichen Geraden durch einen Punkt in diesem Punkt einen Extrempunkt haben kann, aber als Funktion der Ebene in diesem Punkt trotzdem keinen Extrempunkt besitzt.
Moral: man huete sich zu sehr der Anschauung und gesundem Menschenverstand zu vertrauen. Ein mehrdimensionales Problem laesst sich nicht immer auf $1$-dimensionale reduzieren.
Zur Verdeutlichung ein Beispiel: Sei $a=(4,-2)$. Dann ist [mm] $g_{a}(t)= [/mm] f(p+ta)= f((0,0)+t(4,-2))= f(4t,-2t)= [mm] (-2t)^{2}-3(4t)^{2}(-2t)+2(4t)^{4}$. $g_{a}$ [/mm] ist also eine Funktion von $t$ und wird auch nach $t$ abgeleitet. Du sollst das aber fuer beliebiges $a$ durchfuehren.
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mit deinem Hinweis klappt es gut:
[mm] g_{a}=f(p+ta)=f((0,0)+t(a_{1}a_{2}))=(a_{2}t)^2-3(a_{1}t)^2(a_{2}t)+2a_{1}t
[/mm]
grad [mm] g_{a}(a_{2}^2t^2-3a_{1}^2a_{2}t^3+2a_{1}t):= -9a_{1}^2a_{2}t^2+2a_{2}^2t+a_{1}
[/mm]
Nach Nullsetzen: t= [mm] \bruch{-2a_{2}\pm\wurzel{72a_{1}^3a_{2}+4a_{2}^4}}{18a_{1}^2a_{2}}
[/mm]
t ist lang und undurchsichtig.
Hess [mm] g_{a}(t_{0})=-18a_{1}^2a_{2}t+2a_{2}^2= 2a_{2}(a_{2}-9a_{1}^2t)
[/mm]
beide t einsetzen: fällt schwer bei dem großen t, gibts da ein Trick?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 So 28.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> mit deinem Hinweis klappt es gut:
>
> [mm]g_{a}=f(p+ta)=f((0,0)+t(a_{1}a_{2}))=(a_{2}t)^2-3(a_{1}t)^2(a_{2}t)+2a_{1}t[/mm]
Das stimmt doch nicht ! Am Ende sollte stehen [mm] +2a_{1}t^4
[/mm]
> grad [mm]g_{a}(a_{2}^2t^2-3a_{1}^2a_{2}t^3+2a_{1}t):= -9a_{1}^2a_{2}t^2+2a_{2}^2t+a_{1}[/mm]
>
> Nach Nullsetzen: t=
> [mm]\bruch{-2a_{2}\pm\wurzel{72a_{1}^3a_{2}+4a_{2}^4}}{18a_{1}^2a_{2}}[/mm]
> t ist lang und undurchsichtig.
>
> Hess [mm]g_{a}(t_{0})=-18a_{1}^2a_{2}t+2a_{2}^2= 2a_{2}(a_{2}-9a_{1}^2t)[/mm]
>
> beide t einsetzen: fällt schwer bei dem großen t, gibts
> da ein Trick?
>
Es ist ganz einfach: setze [mm] g_a(t):=f(p+ta) [/mm] und zeige:
[mm] g_a'(0)=0 [/mm] und [mm] g_a''(0)>0.
[/mm]
FRED
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