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| Aufgabe | | Bestimme bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 1-15 |
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Moin,
ich lerne gerade für eine Prüfung und muss immer wieder feststellen, dass ich mich als "Angewandter" doch recht schwer tue mit der "Reinen". Aber vielleicht könnt Ihr mir ja helfen!?!!
1 neutrales Element.
2,3,5,7,11,13 sind Primzahlen. Damit sind die Gruppen zyklisch und folglich isomorph zu [mm]\IZ/2\IZ, \IZ/3\IZ, ...[/mm]
15 ist [mm]3*5[/mm], 3<5,3 teilt nicht (5-1)=4, damit ist die Gruppe zyklisch und folglich isomorph zu [mm][mm] \IZ/15\IZ[/mm] [mm].
Was macht man aber bei den anderen?
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 27.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Jochen!
> ich lerne gerade für eine Prüfung und muss immer wieder
> feststellen, dass ich mich als "Angewandter" doch recht
> schwer tue mit der "Reinen". Aber vielleicht könnt Ihr mir
> ja helfen!?!!
>
> 1 neutrales Element.
> 2,3,5,7,11,13 sind Primzahlen. Damit sind die Gruppen
> zyklisch und folglich isomorph zu [mm]\IZ/2\IZ, \IZ/3\IZ, ...[/mm]
>
> 15 ist [mm]3*5[/mm], 3<5,3 teilt nicht (5-1)=4, damit ist die Gruppe
> zyklisch und folglich isomorph zu [mm][mm]\IZ/15\IZ[/mm].
Genau. Also verbleiben noch $4 = [mm] 2^2$, [/mm] $6 = 2 [mm] \cdot [/mm] 3$, $8 = [mm] 2^3$, [/mm] $9 = [mm] 3^2$, [/mm] $10 = 2 [mm] \cdot [/mm] 5$, $12 = [mm] 2^2 \cdot [/mm] 3$ und $14 = 2 [mm] \cdot [/mm] 7$.
Erstmal folgendes: Ist $G$ eine Gruppe mit $|G| = [mm] p^2$ [/mm] fuer eine Primzahl $p$, so ist $G$ abelsch. Das liegt daran, dass das Zentrum mehr als ein Element umfassen muss, und gleichzeitig nicht Index $p$ in der Gruppe haben kann.
Damit fallen schonmal 4 und 9 weg, und es verbleiben $6 = 2 [mm] \cdot [/mm] 3$, $8 = [mm] 2^3$, [/mm] $10 = 2 [mm] \cdot [/mm] 5$, $12 = [mm] 2^2 \cdot [/mm] 3$ und $14 = 2 [mm] \cdot [/mm] 7$. Die abelschen Gruppen dieser Ordnungen sind schnell klassifiziert (Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen), es verbleiben also die nicht-abelschen.
Bei den Gruppen der Ordnung $6$, $10$ und $14$ gibt es neben der zyklischen Gruppe nur die dihedrale Gruppe. Das kann man recht gut mit den Sylow-Saetzen beweisen.
Bei Gruppen der Ordnung 8 und 12 ist es etwas schwerer.
Beweise findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier. Oder google einfach selber nach `classification of groups of small order' oder `classification of groups of order', da findest du noch einiges mehr. Eine (kleine) Uebersicht ueber viele kleine Gruppen findest du auch hier.
LG Felix
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Erstmal danke für die Hilfe.
Zuerst einmal muss ich sagen, dass ich den Abschnitt über abelsche Gruppen noch nicht wiederholt habe, da der erst später in unserem Buch kommt. Aber ich habe mal überflogen und meine, 4 und 9 damit verstanden zu haben.
Wie kann man jetzt aber mit Sylowsätzen etwas für die Gruppen 6, 10, 14 tun? Wenn ich mir 6 herausnehme, dann sagen mir die Sylowsätze, dass ich eine oder drei 2-Sylowgruppen habe und dass ich genau eine 3-Sylowgruppe habe. Was kann ich daraus für eine Erkenntnis ziehen?
Bei 6 müßte ich ja zwei verschiedene Gruppen bekommen (warum gelten [mm]\IZ/6\IZ[/mm] und [mm]\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ[/mm] als ein Fall?)...?!?
Und wie sieht schreibt man dann den Fall der Diedergruppe an???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 27.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie kann man jetzt aber mit Sylowsätzen etwas für die
> Gruppen 6, 10, 14 tun? Wenn ich mir 6 herausnehme, dann
> sagen mir die Sylowsätze, dass ich eine oder drei
> 2-Sylowgruppen habe und dass ich genau eine 3-Sylowgruppe
> habe. Was kann ich daraus für eine Erkenntnis ziehen?
Hast du dir mal den ersten Link aus meinem Posting angeschaut? Da steht das drinnen.
> Bei 6 müßte ich ja zwei verschiedene Gruppen bekommen
Genau: [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] und [mm] $D_3$, [/mm] welches hier mit [mm] $S_3$ [/mm] uebereinstimmt.
> (warum gelten [mm]\IZ/6\IZ[/mm] und [mm]\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ[/mm] als ein
> Fall?)...?!?
Weil sie nach dem Chinesischen Restsatz (oder alternativ dem Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen) isomorph sind.
> Und wie sieht schreibt man dann den Fall der Diedergruppe
> an???
Was meinst du mit `anschreiben'?
LG Felix
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Ja, habe den Link danach gelesen. Alles klar.
Das mit dem chinesischem Restsatz ist auch klar. Damit ist auch klar, dass [mm]\IZ/6\IZ\cong\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ[/mm].
Das mit der Diedergruppe ist nun auch klar. Ich war zunächst ein wenig verwirrt von der englischen Schreibweise.
Ich denke, ich habe das nun in etwa verstanden. Der Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen wurde bei uns in der Vorlesung nie als ein solcher bezeichnet und auch unser begleitendes Buch erwähnt den so beiläufig. Habe das eben erst durchschaut mit der direkten Summe einer frei abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe. So kommt man natürlich auch auf einige (nicht alle) der von mir für die Tabelle gesuchten Isomorphien.
Vielen Dank nochmal, das hat mir sehr geholfen.
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