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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Di 06.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Bestimme die folgenden p-Quantile unter Anwendung der Quasi-Inversen.
(1) Sei $X$ gemäß [mm] $\operatorname{Expo}(\lambda)$ [/mm] exponenzialverteilt mit Parameter [mm] $\lambda$. [/mm] Bestimmte das 10%-Quantil!
(2) Seien $X$ und $Y$ gemäß [mm] $X\sim\operatorname{Bin}(7, [/mm] 0.3)$ und [mm] $Y\sim\operatorname{Bin}(2, [/mm] 0.5)$ binomialverteilt. Bestimme jeweils das 25%-Quantil. Welche Problematik tritt hier auf? Erläutere das Ergebnis anhand einer Skizze! |
Hallo, liebes Forum. Erstmal wünsche ich Euch einen schönen Nikolaus-Tag!
Dann zu meinen Ideen - vorerst zu (1), da mir bei (2) noch eine Idee fehlt:
(1) Als Schätzer [mm] $\hat\xi_{0.1} [/mm] für das Quantil [mm] $\xi_{0.1}$ [/mm] kenne ich normalerweise
[mm] $\hat F^{-}(0.1)=\inf\left\{a\in\mathbb R: 0.1\leq \hat F(a)\right\}\leq \hat\xi_{0.1}\leq \hat F_{-}(0.1)=\sup\left\{a\in\mathbb R: 0.1\geq \hat F(a)\right\}$, [/mm] wobei dann [mm] $\hat [/mm] F(a)$ die empirische Verteilungsfunktion bezeichnet.
Da hier die Verteilungsfunktion bekannt ist, nämlich
[mm] $F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x} &, x\geq 0\\
0 & sonst
\end{cases}$,
[/mm]
würde ich hier nun einfach das "Dach" jeweils weglassen und Folgendes machen:
[mm] $F^{-}(0.1)=\inf\left\{a\in\mathbb R: a\geq -\frac{\ln(0.9)}{\lambda}\right\}=-\frac{\ln(0.9)}{\lambda}$, [/mm] denn
[mm] $0.1\leq F(a)=1-e^{-\lambda a}\Leftrightarrow e^{-\lambda a}\leq 0.9\Leftrightarrow -\lambda a\leq \ln(0.9)$
[/mm]
Ebenso erhalte ich
[mm] $F_{-}(0.1)=\sup\left\{a\in\mathbb R: a\leq -\frac{\ln(0.9)}{\lambda}\right\}=-\frac{\ln(0.9)}{\lambda}$
[/mm]
und damit
[mm] $-\frac{\ln(0.9)}{\lambda}\leq\xi_{0.1}\leq -\frac{\ln(0.9)}{\lambda}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \xi_{0.1}=-\frac{\ln(0.9)}{\lambda}$
[/mm]
Das ist meine Idee zu (1), von der ich natürlich hoffe, daß sie (weitestgehend) korrekt ist.
Bei (2) könnte ich einen Tipp gut gebrauchen. 
Liebe Grüße
mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 06.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Im Grunde habe ich schon verstanden, was mir der Link sagen möchte, es kann passieren, daß das Quantil zwischen den "ganzzahligen" x-Achsen-Werten liegt.
Aber ich habe mir die Verteilungsfunktion von X mal aufgezeichnet und da ist das m.E. nicht der Fall.
Oder ich habe es falsch gezeichnet...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Di 06.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich verstehe grundsätzlich gerade nicht, wie es überhaupt zustande kommen kann, daß das Quantil zwischen zwei Werten auf der x-Achse liegt...
Die Stufen steigen doch immer bei den ganzzahligen Werten... und wenn man dann zum Beispiel bei der y-Achse bei 0.25 ansetzt und dann so lange "nach rechts" wandert, bis man auf einen Wert trifft, ist dieser doch immer "gerade"...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 06.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Also bei [mm] $X\sim\operatorname{Bin}(7, [/mm] 0.3)$ fällt mir gar keine Problematik auf.
Die Verteilungsfunktion ist
[mm] $F(x)=\begin{cases}
0.082354 & 0\leq x<1\\
0.329417 & 1\leq x<2\\
0.64707 & 2\leq x<3\\
0.873964 & 3\leq x<4\\
0.971205 & 4\leq x<5\\
0.996209 & 5\leq x<6\\
0.999781 & 6\leq x<7\\
1 & 7\leq x
\end{cases}$
[/mm]
Wenn ich das zeichne, erkenne ich das 0.25-Quantil bei 1.
Und wenn ich mir wieder aufschreibe als
[mm] $F^{-}(0.25)=\inf\left\{a\in \mathbb R: 0.25\leq F(a)\right\}=1\leq \xi_{0.25}\leq F_{-}(0.25)=\sup\left\{a\in\mathbb R: 0.25\geq F(a)\right\}=1$, [/mm] so lande ich ebenfalls bei [mm] $\xi_{0.25}=1$.
[/mm]
Bei [mm] $Y\sim\operatorname{Bin}(2, [/mm] 0.5)$ habe ich dann die Problematik, daß 0.25 genau die Höhe einer Treppenstufe ist. Da ist das Quantil also nicht eindeutig bestimmt, es ist nämlich
[mm] $\inf\left\{a\in\mathbb R: 0.25\leq F(a)\right\}=1 [/mm] $ und [mm] $\sup\left\{a\in\mathbb R: 0.25\geq F(a)\right\}=0$ [/mm] und somit
[mm] $0\leq \xi_{0.25}\leq [/mm] 1$.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 06.12.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Ist das so richtig?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich denke, der Aufgabensteller wird merken, dass du die Problematik durchschaust.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Di 06.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, danke!
Ich hatte mich nur über die Formulierung der Aufgabe gewundert, weil diese m.E. so klingt, als würde man bei beiden Berechnungen irgendwelchen Problematiken begegnen.
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Dennoch verstehe ich den Link, den Du gegeben hast, nicht.
Wie kann denn das Quantil "zwischen" zwei Werten der x-Achse liegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Di 06.12.2011 | | Autor: | luis52 |
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> Dennoch verstehe ich den Link, den Du gegeben hast, nicht.
>
> Wie kann denn das Quantil "zwischen" zwei Werten der
> x-Achse liegen?
Du nennst doch selbst das Beispiel einer $B(2_,0.5)$-Verteilung. Fuer jedes [mm] $x\in[1,2[$ [/mm] gilt [mm] $P(X\le [/mm] x)=0.75$. So gesehen ist jeder Wert in jenem Intervall ein 75%-Quantil.
Ich moechte gerne eine philosophische Diskussion ueber die sinnvolle Definition eines Quantils fuer eine diskrete Verteilung vermeiden. Hier gibt es sehr viele unterschiedliche Ansaetze.
Mir gefaellt die hier: Sind $x,y$ benachbarte Werte der Verteilung mit $x<y$ und [mm] $p_x=P(X\le x)
Danach ist [mm] $x_{0.75}=1$ [/mm] im obigen Beispiel. Es ist aber auch [mm] $x_{0.60}=1$.
[/mm]
vg Luis
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