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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Bestimme alle komplexe Zahlen
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Bestimme alle komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 So 28.06.2009
Autor: n0000b

Aufgabe
a) $ [mm] e^{z}-e [/mm] = 0$

b) $( z + i )( [mm] z^2 [/mm] + i ) = 0$

Das müsste doch sein:

a)
$ [mm] e^{z}= [/mm] e$ $\ | ln $

$\ |z|=1$

[mm] $z=\pm [/mm] 1$

oder?

bei der b) hänge ich fest:
b)
$ [mm] z^3+z^2i+zi+i^2= [/mm] 0$

$ [mm] z^3+z^2i+zi-1= [/mm] 0$

$ [mm] z^3+z^2i+zi= [/mm] 1$

$ [mm] z(z^2+zi+i)= [/mm] 1$

        
Bezug
Bestimme alle komplexe Zahlen: Einfacher
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 So 28.06.2009
Autor: Infinit

Hallo,
bei der zweiten Gleichung genügt es doch, jede Klammer für sich zu Null zu setzen, dann ist das Produkt auch Null und die Geichung erfüllt.
Viele Grüße,
Infinit

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Bestimme alle komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 So 28.06.2009
Autor: n0000b

Ok,

das hieße also $\ z=-i$ und/oder [mm] $z=\wurzel{-i}$ [/mm] oder?

Bezug
                        
Bezug
Bestimme alle komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 So 28.06.2009
Autor: abakus


> Ok,
>  
> das hieße also [mm]\ z=-i[/mm] und/oder [mm]z=\wurzel{-i}[/mm] oder? ,

Hallo,
z=-i ist tatsächlich die erste Lösung. Das zweite ist zu formal. Du findest die beiden Lösungen für [mm] z^2=-i [/mm] mit der Formel von Moivre.
Gruß Abakus


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Bestimme alle komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 So 28.06.2009
Autor: n0000b

[mm] $z^2=-i$ [/mm]

[mm] $z=\wurzel{-i}$ [/mm]

[mm] $z_{0,1}=\wurzel{1}\left[cos(\bruch{270°+k*360°}{2})+i*sin(\bruch{270°+k*360°}{2})\right]$ [/mm]

[mm] $z_{0}=\wurzel{1}\left[cos(135°)+i*sin(135°)\right]$ [/mm]

[mm] $z_{0}=-\wurzel{2}+i\wurzel{2}$ [/mm]

[mm] $z_{1}=\wurzel{1}\left[cos(315°)+i*sin(315°)\right]$ [/mm]

[mm] $z_{1}=\wurzel{2}-i\wurzel{2}$ [/mm]

Stimmt das so?

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Bezug
Bestimme alle komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 So 28.06.2009
Autor: abakus


> [mm]z^2=-i[/mm]
>  
> [mm]z=\wurzel{-i}[/mm]
>  
> [mm]z_{0,1}=\wurzel{1}\left[cos(\bruch{270°+k*360°}{2})+i*sin(\bruch{270°+k*360°}{2})\right][/mm]
>  
> [mm]z_{0}=\wurzel{1}\left[cos(135°)+i*sin(135°)\right][/mm]
>  
> [mm]z_{0}=-\wurzel{2}+i\wurzel{2}[/mm]
>  
> [mm]z_{1}=\wurzel{1}\left[cos(315°)+i*sin(315°)\right][/mm]
>  
> [mm]z_{1}=\wurzel{2}-i\wurzel{2}[/mm]
>  
> Stimmt das so?

Hallo,
die Argumente (135° bzw 315°) stimmen. ei der Umsetzung in Real- und Imaginärteil hast du dich vertan (es ist jeweils NICHT [mm] \wurzel2, [/mm] sondern nur die Hälfte davon).
Gruß Abakus



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Bestimme alle komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 So 28.06.2009
Autor: n0000b

Jep Sry,

hast natürlich recht. Habe das eben schnell nebenbei getippt :-)

[mm] $z_{0}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm]

[mm] $z_{1}=\bruch{\wurzel{2}}{2}-i\bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm]

Vielen Dank.

Bezug
                                                        
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Bestimme alle komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 So 28.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, im Prinzip korrekt, du kannst aber noch [mm] \wurzel{2} [/mm] kürzen, Steffi

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Bestimme alle komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 So 28.06.2009
Autor: abakus


> Hallo, im Prinzip korrekt, du kannst aber noch [mm]\wurzel{2}[/mm]
> kürzen, Steffi

Hallo,
wer schreibt hier Brüche mit irrationalen Nennern?
So etwas nennt man "verschlimmbesssern".
Gruß Abakus


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Bestimme alle komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Mo 29.06.2009
Autor: n0000b

Ok,

das wäre dann halt jeweils: [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] :-)

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Bestimme alle komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 So 28.06.2009
Autor: XPatrickX

Hallo,
bei Teil 1 hast du nicht beachtet, dass die exp-Funktion [mm] $2\pi [/mm] i$-periodisch ist. Und in der Aufgabenstellung steht ja explizit, dass du alle $z$ angeben sollst, die die Gleichung erfüllen.
Gruß Patrick

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Bestimme alle komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 So 28.06.2009
Autor: n0000b

Könntest du das bitte etwas genauer erläutern, ich wüsste jetzt nicht wie ich das Ausdrücken sollte.

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Bestimme alle komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 So 28.06.2009
Autor: XPatrickX

Ich wollte damit sagen, dass auch [mm] z=1+i*2\pi*k [/mm] eine Lösung ist, also z.B. [mm] z=1+10\pi*i [/mm] erfüllt die Gleichung.

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Bestimme alle komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 So 28.06.2009
Autor: abakus


> a) [mm]e^{z}-e = 0[/mm]
>  

Hallo,
hier solltest du die Exponentialform der komplexen Zahl [mm] e^z=e^{x+i*y} [/mm] betrachten.
Welchen Betrag und welches Argument besitzt dieser Term?
Wenn [mm] e^{z}=e [/mm] gelten muss, dann müssen Betrag und Argument mit den entsprechenden Werten von [mm] e=e^{1+i*0} [/mm] übereinstimmen.
Gruß Abakus

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