Bestimmen partieller Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie die partiellen Ableitungen von [mm] f : \IR ^2 \to \IR [/mm] in [mm] p=(x_0 , y_0) \in \IR ^2 [/mm] an, wobei [mm] f(x,y) = g(\wurzel{x^2+y^2}) [/mm] und [mm] g: [0, \infty ) \to \IR [/mm] differenzierbar ist (Begründung). |
Hallo, meine Lösung lautet:
Falls [mm] p = (0,0) [/mm], sind beide partiellen Ableitungen [mm] g'(0,0) [/mm], andernfalls ist
[mm] \partial_x f(p) = g'(\wurzel{x_0^2+y_0^2}) \bruch{x_0}{\wurzel{x_0^2+y_0^2}}[/mm]
und
[mm] \partial_y f(p) = g'(\wurzel{x_0^2+y_0^2}) \bruch{y_0}{\wurzel{x_0^2+y_0^2}} [/mm].
Das ganze dann mit zweimal Kettenregel angewandt. Jetzt meine Frage: Ist das korrekt? Ich brauche die Punkte und irgendwie verunsichert mich das mit der "Begründung".
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie die partiellen Ableitungen von [mm]f : \IR ^2 \to \IR[/mm]
> in [mm]p=(x_0 , y_0) \in \IR ^2[/mm] an, wobei [mm]f(x,y) = g(\wurzel{x^2+y^2})[/mm]
> und [mm]g: [0, \infty ) \to \IR[/mm] differenzierbar ist
> (Begründung).
> Hallo, meine Lösung lautet:
>
> Falls [mm]p = (0,0) [/mm], sind beide partiellen Ableitungen [mm]g'(0,0) [/mm],
Vorsicht !
Es ist [mm] \bruch{f(h,0)- f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{f(0,h)- f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{g(|h|)- g(0)}{h}
[/mm]
Und jetzt überlege mal, wann für h-->0 ein Grenzwert existiert ?
FRED
> andernfalls ist
> [mm]\partial_x f(p) = g'(\wurzel{x_0^2+y_0^2}) \bruch{x_0}{\wurzel{x_0^2+y_0^2}}[/mm]
>
> und
> [mm]\partial_y f(p) = g'(\wurzel{x_0^2+y_0^2}) \bruch{y_0}{\wurzel{x_0^2+y_0^2}} [/mm].
>
Das ist O.K.
> Das ganze dann mit zweimal Kettenregel angewandt.
?????????????????????????????????????
> Jetzt
> meine Frage: Ist das korrekt? Ich brauche die Punkte und
> irgendwie verunsichert mich das mit der "Begründung".
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Geben Sie die partiellen Ableitungen von [mm]f : \IR ^2 \to \IR[/mm]
> > in [mm]p=(x_0 , y_0) \in \IR ^2[/mm] an, wobei [mm]f(x,y) = g(\wurzel{x^2+y^2})[/mm]
> > und [mm]g: [0, \infty ) \to \IR[/mm] differenzierbar ist
> > (Begründung).
> > Hallo, meine Lösung lautet:
> >
> > Falls [mm]p = (0,0) [/mm], sind beide partiellen Ableitungen [mm]g'(0,0) [/mm],
>
> Vorsicht !
>
> Es ist [mm]\bruch{f(h,0)- f(0,0)}{h}[/mm] = [mm]\bruch{f(0,h)- f(0,0)}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{g(|h|)- g(0)}{h}[/mm]
>
> Und jetzt überlege mal, wann für h-->0 ein Grenzwert
> existiert ?
>
>
>
> FRED
>
Mhm. Das klingt kompliziert. Wenn [mm]g[/mm] in 0 diffbar ist, dann ist g auch stetig in 0. Also strebt der Zähler und der Nenner gegen 0. Wenden wir l'Hôpital an, kommt doch das heraus - [mm] g'(|h|) sgn(h)[/mm], oder? Wieder wegen der Kettenregel und Ableitung des Betrages ist die Signumfunktion.
Aber was mach ich bei alternierendem h oder wenn [mm]p=(h,t) [/mm] mit [mm]h,t \to 0[/mm]? Sind die Überlegungen wenigstens richtig?
> > andernfalls ist
> > [mm]\partial_x f(p) = g'(\wurzel{x_0^2+y_0^2}) \bruch{x_0}{\wurzel{x_0^2+y_0^2}}[/mm]
>
> >
> > und
> > [mm]\partial_y f(p) = g'(\wurzel{x_0^2+y_0^2}) \bruch{y_0}{\wurzel{x_0^2+y_0^2}} [/mm].
>
> >
>
>
> Das ist O.K.
>
>
> > Das ganze dann mit zweimal Kettenregel angewandt.
>
>
> ?????????????????????????????????????
>
>
> > Jetzt
> > meine Frage: Ist das korrekt? Ich brauche die Punkte und
> > irgendwie verunsichert mich das mit der "Begründung".
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 27.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser in (0,0) ist die Begr. einfach Verkettung stetiger fkt.
aber in (0,0) musst du dich doch anstrengen, denn von alleine steht da ja 0/0 also musst du sagen, warum und ob es in (0,0) diffbar ist.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mo 26.01.2009 | | Autor: | MatheSpass |
Tschuldigung, obiges ist natürlich teilweise Blödsinn. Da ich partielle Ableitungen habe, habe ich ja keine alternierenden h und auch keine doppelten (h,t). Gut. aber ist dann die Ableitung nicht im Grenzwert [mm] = 0[/mm] , da [mm]sgn(0) = 0[/mm] ?
Wolltest du mich darauf aufmerksam machen?
EDIT: Oder könnte ich doch ein alternierendes h haben... aber was gilt dann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:00 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten doch:
$ [mm] \bruch{f(h,0)- f(0,0)}{h} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{f(0,h)- f(0,0)}{h} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{g(|h|)- g(0)}{h} [/mm] $
Also:
$ [mm] \bruch{f(h,0)- f(0,0)}{h} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{f(0,h)- f(0,0)}{h} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{g(|h|)- g(0)}{|h|}\bruch{|h|}{h} [/mm] $
Weiter gilt: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{g(|h|)- g(0)}{|h|} [/mm] = g'(0) $
Fazit:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0+} \bruch{g(|h|)- g(0)}{h} [/mm] = g'(0) $
und
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0-} \bruch{g(|h|)- g(0)}{h} [/mm] = -g'(0) $
D.h.: $f$ ist in (0,0) partiell differenzierbar [mm] \gdw [/mm] $g'(0) = 0$
In diesem Fall: [mm] $f_x(0,0) [/mm] = [mm] f_y(0,0) [/mm] = 0$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Di 27.01.2009 | | Autor: | MatheSpass |
> Wir hatten doch:
>
> [mm]\bruch{f(h,0)- f(0,0)}{h}[/mm] = [mm]\bruch{f(0,h)- f(0,0)}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{g(|h|)- g(0)}{h}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{f(h,0)- f(0,0)}{h}[/mm] = [mm]\bruch{f(0,h)- f(0,0)}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{g(|h|)- g(0)}{|h|}\bruch{|h|}{h}[/mm]
>
> Weiter gilt: [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{g(|h|)- g(0)}{|h|} = g'(0)[/mm]
>
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>
> Fazit:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0+} \bruch{g(|h|)- g(0)}{h} = g'(0)[/mm]
>
> und
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0-} \bruch{g(|h|)- g(0)}{h} = -g'(0)[/mm]
>
>
> D.h.: [mm]f[/mm] ist in (0,0) partiell differenzierbar [mm]\gdw[/mm]
> [mm]g'(0) = 0[/mm]
>
> In diesem Fall: [mm]f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0[/mm]
>
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>
> FRED
Danke fuer deine Hilfe!
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