Bestimmen von Funktionen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Hallo,
Ich möchte vollgende Aufgabe lösen.
f(x)=ax³+bx²+cx+d
gegeben: P1(2|0), P2(-2|4), P3(-4|8) und man weiß, dass es einen Tiefpunkt gibt, der auf der y-Achse 0 ist.
Ich soll die Funktion bestimmen.
Angefangen habe ich mit der Gleichungaufstellung.
I: f(2)= 8a+4b+2c+d= 0
II: f(-2)= -8a-4b-2c+d= 4
III: f(-4)= -64a-16b-4c+d= 8
IV: ?????????
Erstens weiß ich nicht, wie es dann weiter gehen soll und zweitens kann ich die 4. Gleichung nicht bestimmen.
Danke für ihre Hilfe
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Di 03.03.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
>
> Ich möchte vollgende Aufgabe lösen.
>
> f(x)=ax³+bx²+cx+d
>
> gegeben: P1(2|0), P2(-2|4), P3(-4|8) und man weiß, dass es
> einen Tiefpunkt gibt, der auf der y-Achse 0 ist.
>
> Ich soll die Funktion bestimmen.
>
> Angefangen habe ich mit der Gleichungaufstellung.
>
> I: f(2)= 8a+4b+2c+d= 0
> II: f(-2)= -8a-4b-2c+d= 4
> III: f(-4)= -64a-16b-4c+d= 8
> IV: ?????????
>
> Erstens weiß ich nicht, wie es dann weiter gehen soll und
> zweitens kann ich die 4. Gleichung nicht bestimmen.
Hallo,
die fehlende vierte Gleichung erhältst du aus der Tiefpunkteigenschaft
[mm] f'(x_T)=0
[/mm]
Liegt der Tiefpunkt auf der y-Achse so gilt also f'(0)=0
Dann hast du ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen für 4 Unbekannte...eine Gleichung wird allerdings sehr einfach.
Gruß Glie
>
> Danke für ihre Hilfe
>
> Yujean
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Das heißt also das d=0 ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie kommst Du darauf? In der 1. Ableitung kommt doch gar kein $d_$ mehr vor.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Achja das ist ja die Ableitung gewesen.
Also hat die 4. Gleichung garkeine Bedeutung für meine anderen Gleichungen?
Kann ich jetzt eine beliebige Gleichung einfach nach a b c oder d umstellen?
z.B
I in II
4=-16a-4c
c=-4a-1
ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
> Achja das ist ja die Ableitung gewesen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also hat die 4. Gleichung garkeine Bedeutung für meine
> anderen Gleichungen?
Aber natürlich doch!
> Kann ich jetzt eine beliebige Gleichung einfach nach a b c
> oder d umstellen?
Kannst Du so machen ...
> z.B
>
> I in II
>
> 4=-16a-4c
> c=-4a-1
Beachte hierzu meine anderen Korrekturen wegen der Vorzeichen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Aber ich versteh nicht welche Bedeutung die Ableitung hat. Es ist doch einfach f'(0)=0
Ist das dann auch gleich f(0)=d=0???
Nee oder?
Danke für die Korrektur ich löse die ersten drei gleichungen schon einmal auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
I d=-8a-4b-2c
I in II
-16a-4c=4
c=-1-4a
4=4
das ist doch völlig unlogisch oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Entschuldigung. =P
Ich habe c in diese Gleichung eingestzt:
-16a-4c=4
=> 4=4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Wenn Du eine umgeformte Gleichung wieder in dieselbe Gleichung einsetzt, sollte immer eine wahre Aussage herauskommen.
Wenn, dann in eine andere Gleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Wie lautet denn die 1. Ableitung und deren Wert bei $x \ = \ 0$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Sie lautet:
f'(0)= 3a0²+2b0+c
Ich denke mal so.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Genau! Und welchen Wert hat nun $f'(0)_$ ? Was folgt daraus (für eine der gesuchten Werte)?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
f'(0)=0
Also können die Variablen alle Zahlen sein. Da sie ja mit 0 multipliziert werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
> f'(0)=0
Setze also die Gleichung aus diesem Artikel gleich Null.
Wie lautet die zusammengefasste Gleichung?
> Also können die Variablen alle Zahlen sein. Da sie ja mit 0
> multipliziert werden.
Quatsch!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Das wäre dann:
3a0²+2b0+c=0
c=0
Ohhhhh wenn das richtig ist ist mir alles klar =P zumindest zuerst!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
> c=0
Na endlich!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
> II: f(-2)= -8a-4b-2c+d= 4
> III: f(-4)= -64a-16b-4c+d= 8
Bei beiden Gleichungen hast Du bei der Variablen $b_$ das falsche Vorzeichen!
Gruß
Loddar
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Hallo Yujean, hallo Loddar,
ich verstehe die Angabe für die 4. Gleichung ganz anders als ihr. Das liegt vielleicht daran, dass die Aufgabe an dieser Stelle ganz ungeschickt formuliert ist:
> ... und man weiß, dass es
> einen Tiefpunkt gibt, der auf der y-Achse 0 ist.
Ein Polynom dritten Grades hat höchstens ein Minimum (Tiefpunkt). Dieses soll m.E. den Funktionswert 0 haben, also am noch zu bestimmenden Punkt [mm] (x_{min},0) [/mm] liegen.
Für die 4. Gleichung wäre das eine hohe Hürde.
Man müsste die 1. Ableitung Null setzen: [mm] 3ax^2+2bx+c=0
[/mm]
Hieraus die beiden Nullstellen der Ableitung (sofern existent):
[mm] x_{1/2}=-\bruch{b}{3a}\pm\bruch{1}{3a}\wurzel{b^2-3ac}
[/mm]
Für das weitere Vorgehen empfiehlt sich dann allerdings, die ersten drei Gleichungen so weit zu lösen, dass nur eine Variable als Parameter übrigbleibt, mit der dann die wenig nette Formel für [mm] x_{1/2} [/mm] zu vereinfachen sein sollte.
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Oder ist die Aufgabe wirklich nur so blöd formuliert?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
Mit dem gesamten Gesicht drauf gestupst, würde ich es gar noch anders interpretieren mit:
$$f(0) \ = \ f'(0) \ = \ 0$$
Der Tiefpunkt liegt auf der y-Achse (also [mm] $x_T [/mm] \ = \ 0$ ) und hat den Funktionswert 0 (also [mm] $y_T [/mm] \ = \ 0$ ).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Di 03.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Loddar,
das sehe ich zwar im Wortlaut nicht, aber es würde die Aufgabe doch sehr viel eher auf ein freundliches Schulniveau bringen. Meine Auslegung hielte ja doch noch manches Späßchen bereit.
Wenn nun f(0)=f'(0)=0 ist, müsste man ja schon fast zusehen, ob das Gleichungssystem nicht ein bisschen überbestimmt ist, oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Und darauf folgt dann , das d=0 ist oder?
also ist die 4. Gleichung
f(0)=0=d
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Di 03.03.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, das würde dann folgen.
Ich nehme an, dass auch glie das so gemeint hat.
Allerdings wäre auch noch c=0 feststellen wegen f'(0)=0. Und dann hast Du nur noch a und b zu bestimmen, aber drei Gleichungen dafür.
Das kann gehen, muss aber nicht.
Ich fang doch gleich noch an, selbst zu rechnen. 
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Ich finde meinen fehler einfach nicht.
ich habe
a= -0.25
b= 0.5
c=0
d=0
aber es stimmt nicht........
Danke für eure Hilfe =P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Woher weißt Du? Ist Dir das exakte Ergebnis bekannt?
Dann lasse uns doch auch dran teilhaben und wir können die Aufgabenstellung draus evtl. herleiten (was nicht unsere Job hier ist!).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Nein das Ergebniss ist mir nicht bekannt aber ich habe
d= -8a-4b
in II
-8a+4b-8a-4b=4
-16a=4
a=-0.25
dann habe ich a in I eingesetzt
8(-0.25)+4b=0
b=0.5
Deswegen die Ergebnisse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Di 03.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
es kann nicht sein, dass bei x=0 ein Extremum (welcher Art auch immer) mit dem Funktionswert 0 liegt.
Dann wäre:
[mm] f(0)=a*0^3+b*0^2+c*0+d=0\quad \Rightarrow [/mm] d=0 sowie
[mm] f'(0)=3a*0^2+2b*0+c=0\quad \Rightarrow [/mm] c=0.
Damit würden die drei gegebenen Punkte nur noch dies liefern:
1) 8a+4b=0
2) -8a+4b=4
3) -64a+16b=8
aus 1) und 2) findet man [mm] a=-\bruch{1}{4},\quad b=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Das in 3) eingesetzt: [mm] -64*\bruch{-1}{4}+16*\bruch{1}{2}=16+8=24\not=8
[/mm]
Diese Deutung passt also nicht zur Aufgabe.
Ich kehre daher zu meinem ursprünglichen Vorschlag zurück:
es gibt ein Minimum, dessen Funktionswert 0 ist.
Und jetzt versuche ich erst mal, damit zu rechnen, und melde mich wieder.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Ja genau das habe ich auch ausgerechnet. =P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Di 03.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hab ich gesehen.
Solange wir hier an allen Ecken gleichzeitig schreiben, sind Dopplungen nicht auszuschließen.
Deswegen mache ich mal einen neuen Unterbaum auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
> f(x)=ax³+bx²+cx+d
>
> gegeben: P1(2|0), P2(-2|4), P3(-4|8) und man weiß, dass es
> einen Tiefpunkt gibt, der auf der y-Achse 0 ist.
Ist dies auch die vollständige Aufgabenstellung mit exaktem Wortlaut?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Di 03.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Der exakte Wortlaut hieß so:
Wir haben eine Funktion 3. Grades mit den Punkten P1, P2, P3 und wir wissen das der Tiefpunkt auf der y-Achse liegt. Bestimme die Funktionsgleichung.
Daraus habe ich gefolgert, das x ja nur 0 sein kann und y dann auch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Damit lautet die 4. Bedingung (wie schon oben gesagt):
$$f'(0) \ = \ 0$$
Über den y-Wert des erwähnten Tiefpunktes ist bis dato nichts bekannt!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Di 03.03.2009 | | Autor: | reverend |
Damit ist die vierte Gleichung so kurz wie glie meinte (ein Hellseher! ein Prophet!):
c=0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Di 03.03.2009 | | Autor: | reverend |
Aha!
> Der exakte Wortlaut hieß so:
>
> Wir haben eine Funktion 3. Grades mit den Punkten P1, P2,
> P3 und wir wissen das der Tiefpunkt auf der y-Achse liegt.
> Bestimme die Funktionsgleichung.
>
> Daraus habe ich gefolgert, das x ja nur 0 sein kann und y
> dann auch.
Daraus ist aber nur zu folgern, dass der Tiefpunkt bei x=0 liegt. Der Funktionswert ist nicht gegeben!
Jetzt haben wir ja endlich die richtige Aufgabe...
Denn mal los!
reverend
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So, hier geht's jetzt in den Endspurt.
Schon bekannt sind:
c=0
1) 8a+4b+d=0
2) -8a+4b+d=4
3)-64a+16b+d=8
Das ist noch zu lösen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo an alle Beteiligten!
Genau dieses Gleichungssystem ergibt als Lösung eine wunderbare Funktion mit:
$$f(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x^3-\bruch{5}{6}*x^2+\bruch{16}{3}$$
[/mm]
Sieht gut aus, ist es aber nicht.
Denn ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
... auf der y-Achse liegt eindeutig ein Hochpunkt (und nicht wie gewünscht / gefordert ein Tiefpunkt).
Damit ist diese Aufgabe m.E. nicht lösbar.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Mi 04.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
ich war gerade woanders im Forum und komme erstaunt zurück.
Natürlich habe ich das nachgerechnet und kann Loddars Lösung nur bestätigen.
Da bleibt ja wieder nur die Frage:
Stimmen alle Angaben der Aufgabenstellung? Auch die Vorzeichen?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Hallo =)
An der Aufgabenstellung ist alles korrekt. Es ist ein Fehler des Verlags, die die Aufgabe gestellt hat.
Vielen Dank trotzdem für ihre Hilfe
MfG
Yujean
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
> An der Aufgabenstellung ist alles korrekt. Es ist ein
> Fehler des Verlags, die die Aufgabe gestellt hat.
Und das heißt? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Wo ist der Fehler? Wie hast Du das rausbekommen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Hallo,
wir haben die Aufgabe heute in der Schule durchgesprochen und kamen natürlich auf die gleiche Funktionsgleichung, die sie auch schon ausgerechnet hatten.
Ich machte meinen Lehrer dann darauf aufmerksam, dass auf der Y-Achse allerdings ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt liegt.
Er sagte, dass es nur ein Fehler der Herrausgeber des Aufgabenbuchs, aus dem die Aufgabe stammte, sein kann.
Gruß
Yujean
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Yujean |
a bekomme ich gelöst.
a=-0.25
aber was mach ich dann? Soll ich a dann in I oder II einsetzen und dann b ausrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Wenn Du uns nicht mitteilst, wie Du auf diesen Wert gekommen bist, können wir Dir auch keine konkreten weitergehenden Tipps geben.
Prinzipiell kannst Du ein ermitteltes Ergebnis stets in die anderen Gleichungen einsetzen und dann die nächste Variable berechnen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Yujean |
d=-8a-4b
d in II
-8a+4b-8a-4b=4
a=-0.25
nur ich weiß jetzt nicht in welche Gleichung ich a einsetzen soll, in d in I?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mi 04.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> d=-8a-4b
>
> d in II
>
> -8a+4b-8a-4b=4
>
> a=-0.25
>
> nur ich weiß jetzt nicht in welche Gleichung ich a
> einsetzen soll, in d in I?
Schreibe doch mal deine kompletten Rechnungen auf, dann können wir die folgen.
Aber viel elegenter ist eh das LGS mit dem Gauss-Verfahren zu lösen, das dir in der 11. Klasse (die gibst du im Profil an) bekannt sein sollte.
Marius
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Wie kommst Du darauf? Was hast du hier gerechnet?
