Bestimmen von Funktionstermen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Katita |
| Aufgabe | Bestimmen Sie einen Term der Funktion, die folgende Eigenschaften hat:
a) x = -2 und x = 3 sind Pole, y= 2 ist Asymptote und Y (0/4) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
b) y = x + 1 ist Asymptote, x = 2 ist Pol und N (-4/0) ist Nullstelle. |
Hallo!
Ich schreibe bald eine Matheklausur und habe in letzter Zeit wegen eines Unfalls den Unterricht verpasst. Ich weiß nicht, wie man den Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion mit Hilfe von Angaben wie in dieser Beispielaufgabe bestimmt. Ich habe bereits probiert mehrere Aufgaben zu lösen, aber die Ergebnisse stimmen nie mit meinem Lösungsblatt überein.....Es wäre echt toll, wenn mir das jemand mal anschaulich erklären könnte. Irgendeine Regel muss es da doch auch geben, oder?! Also, Danke schon mal 
Katita
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katita,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wenn $a(x) \ = \ x+1$ Asymptote Deiner gesuchten Funktion sein soll, kann man diese Funktion $f(x)_$ auch darstellen als:
[mm] $f_A(x) [/mm] \ = \ a(x)+r(x) \ = \ [mm] x+1+\bruch{A}{x-2}$
[/mm]
Der Nenner des Resttermes $r(x)_$ (= gebrochen-rationaler Anteil) ergibt sich aus der vorgegebenen Polstelle bei [mm] $x_p [/mm] \ = \ 2$.
Unbekannt ist jetzt noch der Paramater $A_$ , welcher sich aber aus der Nullstelle ergibt:
[mm] $f_A(\red{-4}) [/mm] \ = \ [mm] \red{-4}+1+\bruch{A}{\red{-4}-2} [/mm] \ = \ 0$
Nun nach $A \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katita!
Auch hier gehen wir ähnlich vor. Wegen der vorgegebenen Asymptote $a(x) \ = \ 2$ können wir die gesuchte Funktion $f(x)_$ wie folgt darstellen:
$f(x) \ = \ a(x)+r(x) \ = \ 2+r(x)$
Die Restfunktion hat als Polstellen die Stellen [mm] $x_{p1} [/mm] \ = \ -2$ und [mm] $x_{p21} [/mm] \ = \ +3$ als Nullstellen des Nenners. Das heißt, der Nenner lautet: $(x+2)*(x-3)_$. Dies ist ein quadratischer Term.
Im Zähler liegt nun ein linearer Term (also mit [mm] $x^{\red{1}}$ [/mm] ) vor, da der Zählergrad echt kleiner als sein muss als der Nennergrad (hier: $2_$).
$r(x) \ = \ [mm] \bruch{A*x+B}{(x+2)*(x-3)}$
[/mm]
Zusammengesetzt ergibt sich hier: $f(x) \ = \ [mm] 2+\bruch{A*x+B}{(x+2)*(x-3)}$
[/mm]
Durch Einsetzen des gegebenen Punktes können wir nun noch den Parameter $B_$ bestimmen:
$f(0) \ = \ [mm] 2+\bruch{A*0+B}{(0+2)*(0-3)} [/mm] \ = \ [mm] 2+\bruch{B}{-6} [/mm] \ = \ 4$
Nun also nach $B \ = \ ...$ umstellen.
Hier existiert keine eindeutige Lösung mit den gegebenen Eigenschaften. Von daher darfst Du den Parameter $A_$ frei wählen. Der einfachste Fall wäre also $A \ := \ 0$ .
Gruß
Loddar
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