Bestimmen von Supremum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] M=\{\bruch{\wurzel{x+y}}{xy} : x,y \ge 1 \}.
[/mm]
Man bestimme maxM, supM, infM und minM, falls vorhanden. |
Hallo,
nun habe ich schon eine obere Schranke dieser Menge bestimmt, nämlich [mm] \wurzel{2}. [/mm] Dies ist dann auch das Maximum von M, da [mm] \wurzel{2} [/mm] angenommen wird.
Das Infimum ist vermutlich 0.
Wie zeige ich jetzt, dass es keine kleinere obere Schranke bzw. größte untere Schranke gibt?
Danke!
Grüße kiri
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> Gegeben sei die Menge [mm]M=\{\bruch{\wurzel{x+y}}{xy} : x,y \ge 1 \}.[/mm]
>
> Man bestimme maxM, supM, infM und minM, falls vorhanden.
> nun habe ich schon eine obere Schranke dieser Menge
> bestimmt, nämlich [mm]\wurzel{2}.[/mm] Dies ist dann auch das
> Maximum von M, da [mm]\wurzel{2}[/mm] angenommen wird.
> Das Infimum ist vermutlich 0.
>
> Wie zeige ich jetzt, dass es keine kleinere obere Schranke
> bzw. größte untere Schranke gibt?
Hallo,
fürs Supremum ist das recht einfach.
Nimm an, daß es eine obere Schranke S gibt, welche kleiner ist als [mm] \wurzel{2}. [/mm]
Dann ist [mm] \wurzel{2}>S \ge \bruch{\wurzel{x+y}}{xy} [/mm] für alle x,y mit x,y [mm] \ge [/mm] 1.
Das kannst Du leicht widerlegen.
Zum Infimum:
Daß 0 eine untere Schranke ist, ist einfach einzusehen.
Nun nimm an, daß es eine größere untere Schranke s gibt, daß es also ein s gibt mit
[mm] 0
Zeige, daß [mm] s\le [/mm] 1 ist durch Einsetzen von passenden Werten für x und y.
Und nun finde x,y (in Abhängigkeit v. s) so daß beim Einsetzen ein Widerspruch entsteht.
Ein kl. Tip fürs Finden: da [mm] s\le [/mm] 1 ist [mm] \bruch{1}{s}\ge [/mm] 1 .
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
erstmal zum Supremum. Irgendwie habe ich keine Idee wie ich die Ungleichung widerlegen könnte, also wie ich zeigen kann, dass es keine kleine obere Schranke gibt als [mm] \wurzel{2}. [/mm] Mir fällt jetzt nur ein, dass für x=y=1 halt [mm] \wurzel{2} [/mm] rauskommt und das ja sozusagen die kleinsten Werte sind, die man für x und y einsetzen kann, und wenn man x und y "vergrößert", also größere Werte einsetzt, wird der Nenner ja immer größer und damit kann es keine kleinere obere Schranke geben.
Aber das ist doch keine mathematische Begründung. Hilf mir bitte nochmal. :)
Dankeschön!
Grüße kiri
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Hallo kiri,
nur sone Idee:
Du hast [mm] $\sqrt{2}> s\ge\frac{\sqrt{x+y}}{xy}$
[/mm]
Alles mit $xy>0$ durchmultiplizieren:
[mm] $\sqrt{2}xy> sxy\ge\sqrt{x+y}$
[/mm]
Nun Quadrieren:
[mm] $2x^2y^2> s^2x^2y^2\ge [/mm] x+y$
Nun ist [mm] $x,y\ge [/mm] 1$, also [mm] $x^2,y^2\ge [/mm] 1$ und [mm] $x+y\ge [/mm] 2$
Also [mm] $2x^2y^2\ge 2\ge s^2\ge [/mm] 2$
Also [mm] $s^2=2$, [/mm] also [mm] $s=\sqrt{2}$ [/mm] Widerspruch zu [mm] $s<\sqrt{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 01.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay. Das klingt logisch.
Jetzt müsst ihr mir noch einmal detailiert beim Infimum helfen. :)
Komme da so irgendwie nicht weiter... Danke!
Grüße kiri
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> Hallo,
> okay. Das klingt logisch.
Hallo,
ich weise daraufhin, daß Deine Idee die richtige ist.
> Jetzt müsst ihr mir noch einmal detailiert beim Infimum
> helfen. :)
Ich nehme an, daß Du auch hier schon gezeigt hast, daß 0 eine unteres Schranke ist.
Angenommen, es gäbe eine größere untere Schranke.
Dann hätte man ein d>0 mit
[mm] d<\bruch{\wurzel{x+y}}{xy} [/mm] für alle [mm] x,y\ge [/mm] 1.
Nun gilt es, x,y zu finden, für die das nicht der Fall ist, sicher werden sie in einem Zusammenhang mit d stehen.
Gruß v. Angela
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> $ [mm] 2x^2y^2> s^2x^2y^2\ge [/mm] x+y $
>
> Nun ist [mm]x,y\ge 1[/mm], also [mm]x^2,y^2\ge 1[/mm] und [mm]x+y\ge 2[/mm]
>
> Also [mm]2x^2y^2\ge 2\ge s^2\ge 2[/mm]
Hallo,
dieser Schluß ist verkehrt.
Es folgt
[mm] 2>s^2>\bruch{x+y}{x^2y^2}, [/mm] und das ist nicht größer als 2:
Nehmen wir mal x=2 und y=3 ,
so haben wir [mm] 2>s^2>\bruch{5}{36}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> erstmal zum Supremum. Irgendwie habe ich keine Idee wie
> ich die Ungleichung widerlegen könnte, also wie ich zeigen
> kann, dass es keine kleine obere Schranke gibt als
> [mm]\wurzel{2}.[/mm] Mir fällt jetzt nur ein, dass für x=y=1 halt
> [mm]\wurzel{2}[/mm] rauskommt und das ja sozusagen die kleinsten
> Werte sind, die man für x und y einsetzen kann, und wenn
> man x und y "vergrößert", also größere Werte einsetzt, wird
> der Nenner ja immer größer und damit kann es keine kleinere
> obere Schranke geben.
>
> Aber das ist doch keine mathematische Begründung.
Hallo,
doch!
Wenn Du bereits gezeigt hast, daß [mm] \wurzel{2} [/mm] eine obere Schranke ist und es jetzt darum geht nachzuweisen, daß es keine kleinere
gibt, ist Deine Argumentation goldrichtig!
Sieh:
angenommen die kleinste obere Schranke S wär kleiner als [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Dann gäbe es ein d>0 mit [mm] \wurzel{2}-d>\bruch{\wurzel{x+y}}{xy} [/mm] für alle x,y [mm] \ge [/mm] 1.
Insbesondere wäre dann [mm] \wurzel{2}-d>\bruch{\wurzel{1+1}}{1} [/mm] ==> d<0. Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 01.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
wunderbar. Dann hatte ich das ja richtig. *freu*
Und jetzt noch zum Infimum... Vielleicht überlege ich nochmal bis morgen, aber ihr könnt mir ja ruhig nochmals Tipps geben. :)
Grüße kiri
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> Und jetzt noch zum Infimum...
s.dort.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Sa 03.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
mir ist schon klar, auf was das hinaus laufen soll. Ich skizziere das mal kurz:
Wir nehmen an, dass es eine größere untere Schranke d>0 gibt.
Es müsste also [mm] 0+d<\bruch{\wurzel{x+y}}{xy} [/mm] gelten. Und jetzt muss ich Werte für x und y einsetzen, und so umformen, dass d<0 folgen würde. Und dies wäre ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass d>0.
Ist doch so richtig oder?
Mein Problem ist nur, dass ich keine solche x und y finde...
Grüße kiri
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> Hallo,
> mir ist schon klar, auf was das hinaus laufen soll. Ich
> skizziere das mal kurz:
>
> Wir nehmen an, dass es eine größere untere Schranke d>0
> gibt.
> Es müsste also [mm]0+d<\bruch{\wurzel{x+y}}{xy}[/mm] gelten. Und
> jetzt muss ich Werte für x und y einsetzen, und so
> umformen, dass d<0 folgen würde. Und dies wäre ein
> Widerspruch zu unserer Annahme, dass d>0.
>
> Ist doch so richtig oder?
Hallo,
ja, das hast Du richtig verstanden, und das ist das Wichtigste.
>
> Mein Problem ist nur, dass ich keine solche x und y
> finde...
Man kann sich die Suche ein weinig erleichtern. Es verbietet einem niemand, für x und y dasselbe zu nehmen, oder für eins von beiden eine besonders einfache Zahl. Mit beidem kommt man hier ans Ziel.
Ich habe gesagt: ich wähle [mm] x>\bruch{2}{d^2} [/mm] und y =1.
Ich habe weiter bedacht, daß [mm] \bruch{\wurzel{x+y}}{xy}=\wurzel{\bruch{x+y}{x^2y^2}}. [/mm] Damit kommt man hin, probier's aus.
Mach dann anschließend mal einen Versuch mit x=y. Eigentlich geht das noch besser.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 03.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, ich versuche es mal.
Ich habe nun folgendes gemacht:
Sei d>0 eine größere untere Schranke (als 0) der Menge M.
Es müsste also 0<d< [mm] \bruch{\wurzel{x+y}}{xy} [/mm] gelten.
Nun sei [mm] x=y=\bruch{2}{d^{2}}. [/mm] Dies ergibt:
0<d< [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{2}{d^{2}}+\bruch{2}{d^{2}}}}{\bruch{2}{d^{2}} * \bruch{2}{d^{2}}}=\bruch{\wurzel{\bruch{4}{d^{2}}}}{\bruch{4}{d^{4}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{d}*\bruch{d^{4}}{4}=\bruch{d^{3}}{2}. [/mm] Also:
[mm] 0
[mm] 0<\bruch{1}{2}<\bruch{1}{16}
[/mm]
Damit kann es keine größere untere Schranke geben.
Ist das so korrekt?
Grüße kiri
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> Hallo,
> okay, ich versuche es mal.
> Ich habe nun folgendes gemacht:
>
> Sei d>0 eine größere untere Schranke (als 0) der Menge M.
> Es müsste also 0<d< [mm]\bruch{\wurzel{x+y}}{xy}[/mm] gelten.
> Nun sei [mm]x=y=\bruch{2}{d^{2}}.[/mm] Dies ergibt:
Hallo,
irgendwo solltest Du nötiert haben, daß Dein d kleiner ist als 1, es interessieren ja in diesem Zuasammenhang die winzigen d.
Damit sicherst Du, daß [mm] x=y=\bruch{2}{d^{2}} [/mm] zulässig sind, sioe müssen ja [mm] \ge [/mm] 1 sein.
Dann ist
> 0<d<
> [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{2}{d^{2}}+\bruch{2}{d^{2}}}}{\bruch{2}{d^{2}} * \bruch{2}{d^{2}}}
> =\bruch{\wurzel{\bruch{4}{d^{2}}}}{\bruch{4}{d^{4}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{d}*\bruch{d^{4}}{4}=\bruch{d^{3}}{2}.[/mm] Also:
>
> [mm]0
> Dies ist aber ein Widerspruch, denn
> setzt man für [mm]d=\bruch{1}{2}[/mm] ein, so ergibt sich:
>
> [mm]0<\bruch{1}{2}<\bruch{1}{16}[/mm]
Nein, so kannst Du den Widerspruch nicht begründen. Es muß ja für jedes kleine d ein Widerspruch sein und nicht nur für [mm] d=\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich würde die Abschätzung sogar noch eine Stufe weiter treiben:
[mm] 0
[mm] d^3< [/mm] d, denn d<1, also hat man d<d. Widerspruch.
> Damit kann es keine größere untere Schranke geben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Sa 03.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
jetzt ist alles klar. Ich danke dir wieder vielmals!
Grüße kiri
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