Bestimmte Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 26.07.2008 | | Autor: | wizmo |
| Aufgabe | | Seien [mm] f=(a_{n}) [/mm] und [mm] g=(b_{n}) [/mm] reelle Folgen mit [mm] a_{n} \le b_{n} [/mm] für fast alle [mm] n\in \IN. [/mm] Bitte zeigen Sie : Ist f bestimmt divergent gegen [mm] \infty [/mm] so ist g bestimmt divergent gegen [mm] \infty. [/mm] |
Hallo an alle,
habe mit dem [mm] \epsilon -n_{0}-Kriterium [/mm] für bestimmte Divergenz folgendes aufs Papier gebracht :
Seien f und g wie in der Behauptung und sei zusätzlich f bestimmt divergent gegen [mm] \infty. [/mm] Dann gilt mit dem [mm] \epsilon -n_{0}-Kriterium, [/mm] wegen [mm] \bruch{1}{\epsilon}0\exists n_{0}\forall n\in\IN:(n\ge n_{0}\Rightarrow b_{n}>\bruch{1}{\epsilon} [/mm] ). Hieraus folgt mit dem [mm] \epsilon -n_{0}-Kriterium [/mm] die Behauptung.
In der Lösung dieser Aufgabe wird der Beweis über eine Umgebung U von [mm] \infty [/mm] und ein Intervall [mm] ]a,\infty[\subsetU\subset [/mm] U', U' Obermenge also auch Umgebung von [mm] \infty, [/mm] geführt. Diese Lösung kann ich auch nachvollziehen. Jetzt würde ich gerne wissen ob meine Lösung richtig ist oder ob ich etwas übersehen habe (Das Kriterium wurde bereits bewiesen, kann also benutzt werden).
Vielen Dank für euer Interesse.
Viele Grüße
wizmo
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> Seien [mm]f=(a_{n})[/mm] und [mm]g=(b_{n})[/mm] reelle Folgen mit [mm]a_{n} \le b_{n}[/mm]
> für fast alle [mm]n\in \IN.[/mm] Bitte zeigen Sie : Ist f bestimmt
> divergent gegen [mm]\infty[/mm] so ist g bestimmt divergent gegen
> [mm]\infty.[/mm]
> Hallo an alle,
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> habe mit dem [mm]\epsilon -n_{0}-Kriterium[/mm] für bestimmte
> Divergenz folgendes aufs Papier gebracht :
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> Seien f und g wie in der Behauptung und sei zusätzlich f
> bestimmt divergent gegen [mm]\infty.[/mm] Dann gilt mit dem [mm]\epsilon -n_{0}-Kriterium,[/mm]
> wegen [mm]\bruch{1}{\epsilon}
> [mm]\forall\epsilon>0\exists n_{0}\forall n\in\IN:(n\ge n_{0}\Rightarrow b_{n}>\bruch{1}{\epsilon}[/mm]
> ). Hieraus folgt mit dem [mm]\epsilon -n_{0}-Kriterium[/mm] die
> Behauptung.
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> In der Lösung dieser Aufgabe wird der Beweis über eine
> Umgebung U von [mm]\infty[/mm] und ein Intervall
> [mm]]a,\infty[\subsetU\subset[/mm] U', U' Obermenge also auch
> Umgebung von [mm]\infty,[/mm] geführt. Diese Lösung kann ich auch
> nachvollziehen. Jetzt würde ich gerne wissen ob meine
> Lösung richtig ist oder ob ich etwas übersehen habe (Das
> Kriterium wurde bereits bewiesen, kann also benutzt
> werden).
Du schreibst zwar die wesentlichen zwei Ungleichung hin, die Du wirst benutzen müssen, aber zwei Dinge gehen dabei unter. Erstens: Wie ist das mit der Voraussetzung, dass [mm] $a_n\leq b_n$ [/mm] nur für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt? (Die Antwort empfindest Du vielleicht als trivial, aber da diese Einschränkung Teil der zu beweisenden Behauptung ist, muss man sie beim Beweis auch ausdrücklich berücksichtigen.) Und zweitens: woher genau weisst Du, dass ein solches [mm] $n_0$ [/mm] existiert? (Auch hier ist die Antwort wohl trivial, sollte nach meinem Gefühl aber Teil eines vollständig ausformulierten Beweises sein.)
Wie gesagt: Ich behaupte nicht, dass es ein solches [mm] $n_0$ [/mm] nicht gebe: nur, dass Deine Argumentation nicht vollständig ausspricht, weshalb es ein solches [mm] $n_0$ [/mm] gibt.
Wenn man von einem Beweis sprechen will, genügt es ja nicht zu sagen, dass es sich um eine wahre Aussage handle. Wenn dem so wäre, könnte man auch gleich jeden wahren Satz seinen eigenen Beweis sein lassen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Sa 26.07.2008 | | Autor: | wizmo |
Hallo,
vielen Dank für Deine Hinweise.
Du hast natürlich Recht - ohne eine Aussage über die Existenz eines solchen [mm] n_{0} [/mm] und dass für [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] mit [mm] n\ge n_{0} [/mm] immer [mm] a_{n}\le b_{n} [/mm] gilt ist der Beweis falsch.
Grüße
wizmo
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