Bestimmte Divergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Do 29.12.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | hallöchen, ich bin grad am wiederholen. bei diesem thema hab ich grad probleme: [mm] f:(0,\infty)\to \IR, x\mapsto x^r [/mm] mit r>0 und mag zeigen, dass es uneigentlich konvergiert/ bestimmt divergiert |
so weit bin ich:
sei [mm] S\in \IR^+
[/mm]
[mm] S=x_o^r \gdw S^{\bruch{1}{r}}=x_o \Rightarrow \forall S\in \IR^+\ \exists x_o=S^{\bruch{1}{r}}\ \forall x>x_o [/mm] : f(x)>S
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty
[/mm]
stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Do 29.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallöchen, ich bin grad am wiederholen. bei diesem thema
> hab ich grad probleme: [mm]f:(0,\infty)\to \IR, x\mapsto x^r[/mm]
> mit r>0 und mag zeigen, dass es uneigentlich konvergiert/
> bestimmt divergiert
>
> so weit bin ich:
>
> sei [mm]S\in \IR^+[/mm]
>
> [mm]S=x_o^r \gdw S^{\bruch{1}{r}}=x_o[/mm]
bis hierhin kannst Du das so stehen lassen!
> [mm]\Rightarrow \forall S\in \IR^+\ \exists x_o=S^{\bruch{1}{r}}\ \forall x>x_o : f(x)>S[/mm]
Das ist zwar nicht falsch, aber das musst Du begründen. Beispielsweise zeigst Du, dass jede Abbildung $x [mm] \mapsto x^r$ [/mm] (für beliebiges, aber festes $r > 0$) als Abbildung [mm] $(0,\infty) \to \IR$ [/mm] streng wächst. Alternativ zeigst Du einfach Deine Behauptung:
Du sagst nun: Ist $S > [mm] 0\,,$ [/mm] so gilt für alle $x [mm] \in (0,\infty)$ [/mm] mit $x > [mm] x_o:=S^{1/r}\,,$ [/mm] dass [mm] $f(x)=x^r [/mm] > S$ ist. Dazu erstmal: Für $S > [mm] 0\,$ [/mm] ist [mm] $x_o:=S^{1/r}$ [/mm] eine wohldefinierte Zahl $> [mm] 0\,.$ [/mm]
Nun gilt für jedes $x > [mm] x_o\;\,(> [/mm] 0)$
[mm] $$x_o [/mm] < x [mm] \Rightarrow (x_o/x) [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Bekannt ist (hoffentlich), dass aus $0 < z < 1$ stets $0 < [mm] z^r [/mm] < 1$ folgt. Benutze das mit [mm] $z=x_o/x$ [/mm] und danach verwende die altbekannte Regel [mm] $(a/b)^r=a^r/b^r\,.$ [/mm] Damit kommst Du dann zum Ziel (Du weißt sicher $u/v < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] u < [mm] v\,,$ [/mm] sofern $v > [mm] 0\,$), [/mm] und schließlich hast Du das
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty[/mm]
dann bewiesen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Do 29.12.2011 | | Autor: | saendra |
danke Marcel 
ich dachte mir schon dass bei meinem beweis was fehlt. wir haben bereits gezeigt, dass potenzfunktionen mit positivem exponent streng mononton wachsen für x>0.
wenn ich dann richtig verstanden habe, reicht dies hier: $ [mm] S=x_o^r \gdw S^{\bruch{1}{r}}=x_o [/mm] $
+ das streng monotone wachstum, dann folgt dies hier:
$ [mm] \Rightarrow \forall S\in \IR^+\ \exists x_o=S^{\bruch{1}{r}}\ \forall x>x_o [/mm] : f(x)>S $
$ [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty [/mm] $
dann ist es bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 29.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke Marcel
>
> ich dachte mir schon dass bei meinem beweis was fehlt. wir
> haben bereits gezeigt, dass potenzfunktionen mit positivem
> exponent streng mononton wachsen für x>0.
>
> wenn ich dann richtig verstanden habe, reicht dies hier:
> [mm]S=x_o^r \gdw S^{\bruch{1}{r}}=x_o[/mm]
>
> + das streng monotone wachstum, dann folgt dies hier:
> [mm]\Rightarrow \forall S\in \IR^+\ \exists x_o=S^{\bruch{1}{r}}\ \forall x>x_o : f(x)>S[/mm]
ja,ich würd's nur ein wenig deutlicher schreiben:
Weil [mm] $f\,$ [/mm] streng wächst, folgt dann insbesondere [mm] $x^r=\blue{f(x) > f(x_o)}=S$ [/mm] für alle [mm] $\blue{x > x_o}\,.$ [/mm] Aber das von Dir oben geschriebene ist in der Tat ausreichend!
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty[/mm]
>
>
> dann ist es bewiesen?
Ja.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Do 29.12.2011 | | Autor: | saendra |
vielen dank ![[bussi]](/images/smileys/bussi.gif "[bussi]")
n8!
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