Bestimmte Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine bestimmt gegen [mm] +\infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] divergierende reelle Zahlenfolge an
ii) Geben Sie ein Beispiel für eine reelle Zahlenfolge, die divergent, aber nicht
bestimmt divergent ist
iii) Zeigen Sie: Ist die Folge [mm] (a_n) [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] dann existiert ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] so dass [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] und die Folge [mm] (\bruch{1}{a_n})_{n\ge n_0} [/mm] ist eine Nullfolge
iv) Gilt in iii) auch die Umkehrung? Beweis oder Gegenbeispiel. |
i) [mm] a_n= [/mm] n und [mm] b_n= [/mm] -n sind bestimmt divergente Folgen gegen [mm] +\infty [/mm] bzw. [mm] -\infty
[/mm]
ii) Die Zahlenfolge [mm] a_n=-1^{n} [/mm] divergiert, aber nicht bestimmt.
iii) Eine bestimmte Divergenz einer reellen Zahlenfolge ist dadurch definiert, dass es für jede Zahl M [mm] \in \IR [/mm] ein [mm] n_0 \in [/mm] N gibt, sodass alle [mm] a_{n\ge n_0} [/mm] > M.
Das heißt, die Folge [mm] a_n [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] und ihr Kehrwert entsprechend gegen Null.
iv) Hier brauche ich einen Tipp.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> i) Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine bestimmt gegen
> [mm]+\infty[/mm] bzw. [mm]-\infty[/mm] divergierende reelle Zahlenfolge an
>
> ii) Geben Sie ein Beispiel für eine reelle Zahlenfolge,
> die divergent, aber nicht
> bestimmt divergent ist
>
> iii) Zeigen Sie: Ist die Folge [mm](a_n)[/mm] bestimmt divergent
> gegen [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] dann existiert ein [mm]n_0 \in \IN,[/mm]
> so dass [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n [mm]\ge n_0[/mm] und die Folge
> [mm](\bruch{1}{a_n})_{n\ge n_0}[/mm] ist eine Nullfolge
>
> iv) Gilt in iii) auch die Umkehrung? Beweis oder
> Gegenbeispiel.
> i) [mm]a_n=[/mm] n und [mm]b_n=[/mm] -n sind bestimmt divergente Folgen
> gegen [mm]+\infty[/mm] bzw. [mm]-\infty[/mm]
eigentlich solltest Du "die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=n$" [/mm] schreiben etc. pp.,
aber das hatte ich Dir schonmal irgendwo erzählt, glaube ich. Inhaltlich ist
es jedenfalls ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ii) Die Zahlenfolge [mm]a_n=-1^{n}[/mm] divergiert, aber nicht
> bestimmt.
Hier meinst Du etwas anderes, das korrigierst Du aber bitte selber. Beachte
bitte, dass [mm] $-1^n=-\,(1^n)=-1$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt. Was fehlt also?
(Hier wäre [mm] $-1^n=-1 \to [/mm] -1$ bei $n [mm] \to \infty$!)
[/mm]
> iii) Eine bestimmte Divergenz einer reellen Zahlenfolge ist
> dadurch definiert, dass es für jede Zahl M [mm]\in \IR[/mm] ein [mm]n_0 \in[/mm]
> N gibt, sodass alle [mm]a_{n\ge n_0}[/mm] > M.
>
> Das heißt, die Folge [mm]a_n[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm] und ihr
> Kehrwert entsprechend gegen Null.
Das ist zwar richtig und schön, aber der "Beweis" ist mir zu kurz. (Das sind
eher "Überlegungen, die in Richtung Beweis gehen" als ein wirklicher
Beweis!) Mache es lieber ausführlicher:
Sei $M > [mm] 0\,.$ [/mm] Zeige: Aus [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] oder [mm] $a_n \to -\infty$ [/mm] folgt, dass es ein
[mm] $n_0=n_0(M) \in \IN$ [/mm] gibt, so dass [mm] $|a_n| [/mm] > M$ für alle $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Mache meinetwegen
das Ganze auch mit Fallunterscheidungen:
1. Fall: Wir betrachten zunächst den Fall [mm] $a_n \to \infty\,,$ [/mm] dann...
2. Fall: Nun betrachten wir den Fall [mm] $a_n \to -\,\infty\,,$ [/mm] dann
Damit zeigst Du: Sowohl bei [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] als auch bei [mm] $a_n \to -\infty$ [/mm] folgt [mm] $|a_n| \to \infty$ [/mm]
(die Umkehrung ist i.a. falsch, wie [mm] $a_n=(-1)^n*n$ [/mm] zeigt!)
Führe nun wirklich einen [mm] $\varepsilon$-$N(\varepsilon)$-Beweis, [/mm] der zeigt,
dass [mm] $(1/|a_n|)_{n \ge n_0}$ [/mm] eine Nullfolge ist. Folgere damit, dass dann auch
[mm] $1/a_n \to [/mm] 0$ gelten muss! (Beachte: [mm] $|\;|b|\,-\,|a|\;| \le [/mm] |b-a|$ - wobei Du das
hier eh nur für den Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] brauchst und diese Ungleichung dann
trivial ist!)
(Was wir so eigentlich gemacht haben, ist dann ein wenig mehr als nur
das, was in der Aufgabe steht. Alternativ kannst Du natürlich auch beide
Fälle "per Definitionem" durchgehen. Oder Du beweist zunächst rein per
Definitionem, dass aus [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] auch [mm] $(1/a_n)_{n \ge n_0}$ [/mm] erfüllt, dass [mm] $1/a_n \to [/mm] 0$ [mm] ($n_0 \le [/mm] n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Beachte auch, dass [mm] $n_0$ [/mm] so gewählt war, dass [mm] $a_n \not=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
gilt, insbesondere ist also der Bruch [mm] $1/a_n$ [/mm] definiert für alle $n [mm] \ge n_0\,.$
[/mm]
Und den Fall [mm] $a_n \to -\infty$ [/mm] kannst Du dann leicht auf den Fall "Folge
gegen [mm] $+\infty$" [/mm] zurückführen - wie wohl?
Und die Aussage [mm] $|a_n| \to \infty \Rightarrow 1/|a_n| \to [/mm] 0$ ist dann wiederum
auch nur ein Spezialfall der Folgerung mit "Folge gegen [mm] $+\infty$".)
[/mm]
P.S. Zu iv): Ich habe hier irgendwo geschrieben, dass [mm] $|a_n| \to \infty$ [/mm] auch
[mm] $1/|a_n| \to [/mm] 0$ liefert. Ferner liefert [mm] $1/|a_n| \to [/mm] 0$ auch [mm] $|a_n| \to \infty\,.$
[/mm]
Nur folgt aus [mm] $|a_n| \to \infty$ [/mm] eben nicht, dass einer der Fälle [mm] $a_n \to \infty$
[/mm]
oder [mm] $a_n \to -\infty$ [/mm] gelten muss. Ein passendes Gegenbeispiel steht hier
in meiner Antwort - suche nach einer "unbeschränkten
betragswachsenden Folge" mit "alternierendem Vorzeichen"!
Gruß,
Marcel
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