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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Sa 16.06.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^{4}*(1-x)^4}{1+x^2} dx} [/mm] |
Hallo Mathefreunde!
ich versuche, das Integral auszurechen.
Dazu habe ich zuerst den Zähler ausmultipliziert und komme dann auf folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^{8}-4x^{7}+6x^{6}-4x^{5}+x^{4}}{1+x^2} dx}
[/mm]
Ist das zweckmäßig, um dann mit der partiellen Integration für Zähler und Nenner getrennt die Stammfunktion zu finden?
Oder ist der Ansatz falsch?
Mit dem Ergebnis soll im übrigen nachgewiesen werden, dass [mm] \pi<\bruch{22}{7} [/mm] ist.
Vielen Dank und viele Grüße,
Andreas
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Hallo Andreas,
das ist schonmal ein guter Anfang.
Nun würde ich vorschlagen, eine Polynomdivision zu machen und mal zu sehen, was übrigbleibt.
Das ist ein Polynom in Potenzen von x, das man elementar integrieren kann.
Der Restsummand ist [mm] -\frac{4}{1+x^2}
[/mm]
Da muss man sich dann mal an die Ableitung des [mm] \arctan [/mm] erinnern
LG
schachuzipus
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Sa 16.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo schachuzipus! Danke für Deinen Tipp!
Habe jetzt mal eine Polynomdivision gemacht und komme auf:
[mm] x^{6} [/mm] - [mm] 4{x^5} [/mm] + [mm] 5{x^4} [/mm] - [mm] {4x^2} [/mm] + 4 - [mm] \underbrace{\bruch{4}{x^2 + 1}}_{=Restsummand}
[/mm]
Soweit klar.
Die Ableitung von [mm] \arctan [/mm] {x}' = [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
Auch klar. Dann müsste die Stammfunktion von
[mm] -\bruch{4}{1+x^{2}} \Rightarrow [/mm] -4*arctan {x} sein, richtig?
Aber warum muss ich für das Integral nur den Restsummand der Polynomdivision betrachten?
Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Sa 16.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo schachuzipus!
Das heißt also, ich muss noch die Stammfunktion finden für:
[mm]x^{6}[/mm] - [mm]4{x^5}[/mm] + [mm]5{x^4}[/mm] - [mm]{4x^2}[/mm] + 4
und das ist einfach:
[mm] \bruch{1}{7}x^7 [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}x^6 [/mm] + [mm] x^5 [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x^3 [/mm] +4x
Grüße, Andreas
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> Hallo schachuzipus!
>
> Das heißt also, ich muss noch die Stammfunktion finden
> für:
>
> [mm]x^{6}[/mm] - [mm]4{x^5}[/mm] + [mm]5{x^4}[/mm] - [mm]{4x^2}[/mm] + 4
>
> und das ist einfach:
>
> [mm]\bruch{1}{7}x^7[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}x^6[/mm] + [mm]x^5[/mm] - [mm]\bruch{4}{3}x^3[/mm]
> +4x
>
> Grüße, Andreas
Jau genau.
Und dazu noch [mm] -4\arctan(x) [/mm] addieren
Dann die Grenzen einsetzen und voilà
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Sa 16.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi schachuzipus! Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen!
Ich wünsche Dir noch einen schönen Sonntag! Ist ja bald soweit 
Viele Grüße, Andreas
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Hi Andreas,
gerne doch,
dir auch ein schönes Rest-WE
schachuzipus
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