Bestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 12.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das bestimmte Integral [mm] \integral_{0}^{1}{x^5 * \wurzel{1+ x^3} dx} [/mm] |
Hallo,
das geht einfach zu gut auf, da muss ein Fehler drinne sein :).
[mm] \integral_{0}^{1}{x^5 * \wurzel{1+ x^3} dx}
[/mm]
z = [mm] \wurzel{1+x^3}; [/mm] x = [mm] \wurzel[3]{z^2-1}
[/mm]
x' = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{1+x^3}*3x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{[2*\wurzel{1+\wurzel{z^2-1}}]^{-1} * 3(\wurzel[3]{z^2-1})^2}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{\wurzel{2}}{\wurzel[3]{z^2-1}^5 * z * \bruch{1}{[2*\wurzel{1+\wurzel{z^2-1}}]^{-1} * 3(\wurzel[3]{z^2-1})^2} dz} [/mm]
= [mm] \integral_{1}^{\wurzel{2}}{(\wurzel[3]{z^2-1})^3 * z * \bruch{1}{(2z)^{-1}*3 } dz} [/mm]
= [mm] \integral_{1}^{\wurzel{2}}{(z^2-1) * 3z * \bruch{1}{3} dz} [/mm]
= [mm]\bruch{1}{3}* \integral_{1}^{\wurzel{2}}{(z^2-1) * 3z dz} [/mm]
[mm] u=z^2-1; u'=2z [/mm]
[mm] v=3*\bruch{z^2}{2}; v'=3z [/mm]
F(x) = [mm] (z^2-1) [/mm] * [mm] 3\bruch{z^2}{2} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{\wurzel{2}}{2z * \bruch{3z^2}{2} dz}
[/mm]
= [mm] (z^2-1) [/mm] * [mm] 3\bruch{z^2}{2} [/mm] - [mm] (z^2-1) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} z^3 [/mm] +c
= [mm] (z^2-1) [/mm] * [mm] (3\bruch{z^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} z^3) [/mm] +c
F(a) = -1 + [mm] \wurzel{2}
[/mm]
F(b) = 5- [mm] 5*\wurzel{5}
[/mm]
- (F(b) - F(a) ) = 15,7661
Hmmm :)
Also vielen Dank an jede/n die/der sich durch das Chaos arbeiten mag.
Vllt ist ja auch gleich am Anfang was falsch. Habe mir viel angeschaut, und lange dran gesessen.
Grüße
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^5 * \wurzel{1+ x^3} dx}[/mm]
>
> z = [mm]\wurzel{1+x^3};[/mm] x = [mm]\wurzel[3]{z^2-1}[/mm]
>
> x' = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{1+x^3}*3x^2}[/mm]
Wie kommst du denn auf diesen Term? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Die Ableitung der 3. Wurzel ergibt doch [mm] $\bruch{1}{3*\wurzel[3]{z^2}}$ [/mm] .
Ich würde hier mit folgender Substitution vorgehen:
$z \ := \ [mm] 1+x^3$ $\gdw$ $x^3 [/mm] \ = \ z-1$
$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] 3*x^2$
[/mm]
Und im Integral wie folgt den ersten Faktor zerlegen:
[mm] $\integral{x^5*\wurzel{1+x^3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x^3*x^2*\wurzel{1+x^3} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 12.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo Loddar,
danke für Deine schnelle Antwort.
> > [mm]\integral_{0}^{1}{x^5 * \wurzel{1+ x^3} dx}[/mm]
> >
> > z = [mm]\wurzel{1+x^3};[/mm] x = [mm]\wurzel[3]{z^2-1}[/mm]
> >
> > x' = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{1+x^3}*3x^2}[/mm]
>
> Wie kommst du denn auf diesen Term?
> Die Ableitung der 3. Wurzel ergibt doch
> [mm]\bruch{1}{3*\wurzel[3]{z^2}}[/mm] .
Ich dachte an dieser Stelle müßte man den substituierten Teil differenzieren.
Gilt hier nicht auch noch innere mal äußere Ableitung ?
Also[mm] \wurzel{1+x^3} '= \bruch{1}{2*\wurzel{1+x^3}*3x^2}[/mm]
bzw [mm]\bruch{1}{3*\wurzel[3]{z^2-1}} * 2z[/mm] ?
>
> Ich würde hier mit folgender Substitution vorgehen:
>
> [mm]z \ := \ 1+x^3[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x^3 \ = \ z-1[/mm]
>
> [mm]z' \ = \ \bruch{dz}{dx} \ = \ 3*x^2[/mm]
>
>
> Und im Integral wie folgt den ersten Faktor zerlegen:
>
> [mm]\integral{x^5*\wurzel{1+x^3} \ dx} \ = \ \integral{x^3*x^2*\wurzel{1+x^3} \ dx} \ = \ ...[/mm]
Joa das sieht einfacher aus :). Bei mir scheiterts demnach noch bei der Substitution ^^.
Probiere ich gleich mal (nachdem ich die Ungleichung bei dem Grenzwert gelöst habe).
>
> Gruß
> Loddar
>
Grüße
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Du musst bei der  Kettenregel aber auch rechnen "äußere Ableitung mal innere Ableitung"!
[mm]\left( \ \wurzel{1+x^3} \ \right)' \ = \ \bruch{1}{2*\wurzel{1+x^3}}*3x^2 \ = \ \bruch{3x^2}{2*\wurzel{1+x^3}}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Guten Morgen Loddar :),
> Ich würde hier mit folgender Substitution vorgehen:
>
> [mm]z \ := \ 1+x^3[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x^3 \ = \ z-1[/mm]
>
> [mm]z' \ = \ \bruch{dz}{dx} \ = \ 3*x^2[/mm]
da haberts bei mir :).
Ich verstehe nicht wieso das [mm]z' = 3x^2 = \bruch{dz}{dx} [/mm]ist.
Was ist hier denn genau dz und was dx (so müßte dx eins sein, damit die Ableitung von z = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] ist) ?
Gibt es Fälle in denen dx nicht eins ist ?
Danke Grüße
Lars
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Hallo Lars,
vllt. kann man genauer schreiben.
Die Substitution war [mm] $z(x):=1+x^3$
[/mm]
Damit ist [mm] $\frac{dz}{dx}=z'(x)=3x^2$
[/mm]
[mm] \frac{dz}{dx} [/mm] ist nur eine Schreibweise für die Ableitung der Funktion z nach der Variable x
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo,
> $ [mm] \integral_{0}^{1}{x^3 * x^2 \cdot{} \wurzel{1+ x^3} dx} [/mm] $
= [mm] \integral_{1}^{2}{(z-1)* \wurzel(z-1) * \wurzel{z} * 3\wurzel{z-1} dz}
[/mm]
1. Ober- & Untergrenze für x in z = 1+ [mm] x^3 [/mm] eingesetzt.
2. (z-1) für [mm] x^3; (\wurzel[3]{z-1})^2 [/mm] = [mm] \wurzel{z-1} [/mm] für [mm] x^2; [/mm] z für [mm] 1+x^3 [/mm]
und wegen der Substitution mal z' = 3 * [mm] \wurzel[3]{z-1})^2 [/mm] = [mm] 3*\wurzel{z-1}
[/mm]
=[mm] 3 \integral_{1}^{2}{(z-1)^2 * \wurzel{z}dz} [/mm]
Soweit richtig ?
Danke Grüße
Lars
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> Hallo,
>
> > [mm]\integral_{0}^{1}{x^3 * x^2 \cdot{} \wurzel{1+ x^3} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{1}^{2}{(z-1)* \wurzel(z-1) * \wurzel{z} * 3\wurzel{z-1} dz}[/mm]
>
> 1. Ober- & Untergrenze für x in z = 1+ [mm]x^3[/mm] eingesetzt.
> 2. (z-1) für [mm]x^3; (\wurzel[3]{z-1})^2[/mm] = [mm]\wurzel{z-1}[/mm] für
> [mm]x^2;[/mm] z für [mm]1+x^3[/mm]
> und wegen der Substitution mal z' = 3 * [mm]\wurzel[3]{z-1})^2[/mm]
> = [mm]3*\wurzel{z-1}[/mm]
>
> =[mm] 3 \integral_{1}^{2}{(z-1)^2 * \wurzel{z}dz}[/mm]
>
> Soweit richtig ?
Editierte Antwort aufgrund schachuzipus' Hinweis:
Hallo,
wie ich sehe, möchtest Du
[mm] \integral_{0}^{1}{x^3 * x^2 \cdot{} \wurzel{1+ x^3} dx}
[/mm]
mithilfe der Substitution
[mm] z:=x^3\red{+}1 [/mm]
[mm] x=(z-1)^{\bruch{1}{3}} [/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{3(z-1)^{\bruch{2}{3}}}dz
[/mm]
lösen.
Du mußt im Integral also x durch [mm] (z-1)^{\bruch{1}{3}} [/mm] ersetzen, dx durch [mm] \bruch{1}{3(z-1)^{\bruch{2}{3}}}dz [/mm] und die Grenzen durch [mm] (Grenzen)^3\red{+}1.
[/mm]
Das Integral, welches Du so bekommst, sieht anders aus, als das, welches Du oben dastehen hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo Angela ,
[mm]\integral_{1}^{2}{ (z-1) * (z-1)^{\bruch{2}{3}} * \wurzel{z} * \bruch{1}{3* (z-1)^{\bruch{2}{3}}} dz} [/mm]
[mm]\bruch{1}{3} * \integral_{1}^{2}{(z-1) * \wurzel{z} dz} [/mm]
So richtig (ich glaube in der Klausur habe ich keine zwei Tage Zeit und ein Forum zur Verfügung *snieef*) ?
Danke
Grüße
Lars
Edit:Habe die Grenzen angepasst [mm]b= (1)^3 +1; a = (0)^3+1[/mm]
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> [mm]\integral_{-1}^{0}{ (z-1) * (z-1)^{\bruch{2}{3}} * \wurzel{z} * \bruch{1}{3* (z-1)^{\bruch{2}{3}}} dz}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3} * \integral_{-1}^{0}{(z-1) * \wurzel{z} dz}[/mm]
>
> So richtig (ich glaube in der Klausur habe ich keine zwei
> Tage Zeit und ein Forum zur Verfügung *snieef*) ?
Hallo,
ja, so ist es richtig.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela, Hallo Lars,
ich denke nicht, dass das so passt,
wenn ihr die Substitution (wie in Angelas post oben) [mm] z:=x^3-1 [/mm] nehmt, so ist [mm] \sqrt{1+x^3}=\sqrt{z+2} [/mm]
Das kann also nicht passen.
Die vorher schon erwähnte Substitution [mm] z:=x^3\red{+}1 [/mm] führt
dann zu dem Integral in Lars' post, nur mit den Grenzen z=1 und z=2
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Angela, Hallo Lars,
>
> ich denke nicht, dass das so passt,
>
> wenn ihr die Substitution (wie in Angelas post oben)
> [mm]z:=x^3-1[/mm] nehmt, so ist [mm]\sqrt{1+x^3}=\sqrt{z+2}[/mm]
>
> Das kann also nicht passen.
>
> Die vorher schon erwähnte Substitution [mm]z:=x^3\red{+}1[/mm] führt
>
> dann zu dem Integral in Lars' post, nur mit den Grenzen z=1
> und z=2
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Du hast völlig recht!
Es muß [mm] z:=x^3\red{+}1 [/mm] heißen,
was bedeutet, daß die Grenzen zu 1 und 2 werden.
Der Rest, dessen, was ich schrieb stimmt jedoch.
Richtig ist dieses Integral: $ [mm] \bruch{1}{3} \cdot{} \integral_{1}^{2}{(z-1) \cdot{} \wurzel{z} dz} [/mm] $.
Gruß v. Angela
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> Berechnen Sie das bestimmte Integral [mm]\integral_{0}^{1}{x^5 * \wurzel{1+ x^3} dx}[/mm]
>
> Hallo,
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> das geht einfach zu gut auf, da muss ein Fehler drinne sein
> :).
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^5 * \wurzel{1+ x^3} dx}[/mm]
>
> z = [mm]\wurzel{1+x^3};[/mm] x = [mm]\wurzel[3]{z^2-1}[/mm]
>
> x' = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{1+x^3}*3x^2}[/mm]
Dies hier verstehe ich schon nicht mehr. Dies scheint im Grunde die Ableitung von $z$ nach $x$ zu sein (ungefähr, wenngleich nicht ganz: ich verstehe beispielsweise nicht, wie Du dazu kommst, den Faktor [mm] $3x^2$ [/mm] in den Nenner zu setzen, der muss doch an die ganze äussere Ableitung ranmultipliziert werden).
Also es ist [mm] $dz=\frac{1}{2\sqrt{1+x^3}}\cdot 3x^2\; [/mm] dx$
bzw. nach $dx$ aufgelöst: [mm] $dx=\frac{2}{3x^2}\sqrt{1+x^3}\; [/mm] dz$.
Nun setzen wir dies in das gegebene Integral ein:
[mm]\begin{array}{lcll}
\displaystyle \int_0^1x^5\sqrt{1+x^3}\; dx &=& \displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}x^5\sqrt{1+x^3}\cdot \frac{2}{3x^2}\sqrt{1+x^3}\; dz\\[.3cm]
&=& \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \int_1^{\sqrt{2}} x^3\cdot z^2\; dz\\[.3cm]
&=& \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \int_1^{\sqrt{2}} (z^2-1)\cdot z^2\; dz\\[.4cm]
&=& \displaystyle \frac{4(\sqrt{2}+1)}{45}
\end{array}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo Somebody,
> > x' = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{1+x^3}*3x^2}[/mm]
da ist mir beim übertragen ein [mm] ()^{-1} [/mm] verlorengegangen.
Beim einsetzen ists dann wieder da.
>
> Dies hier verstehe ich schon nicht mehr. Dies scheint im
> Grunde die Ableitung von [mm]z[/mm] nach [mm]x[/mm] zu sein (ungefähr,
> wenngleich nicht ganz: ich verstehe beispielsweise nicht,
> wie Du dazu kommst, den Faktor [mm]3x^2[/mm] in den Nenner zu
> setzen, der muss doch an die ganze äussere Ableitung
> ranmultipliziert werden).
>
> Also es ist [mm]dz=\frac{1}{2\sqrt{1+x^3}}\cdot 3x^2\; dx[/mm]
> bzw.
> nach [mm]dx[/mm] aufgelöst: [mm]dx=\frac{2}{3x^2}\sqrt{1+x^3}\; dz[/mm].
> Nun
> setzen wir dies in das gegebene Integral ein:
uhm.. ich dachte bei der Substitution wird der Ausdruck mit [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] multipliziert.
Was hier eben [mm]\bruch{1}{(2*\wurzel{1+x^3})^{-1}*3x^2}[/mm] wäre.
Das ist also nicht richtig und man muss [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] nach dx auflösen um es für dx einzusetzen ?
Danke Grüße
Lars
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
> Das ist also nicht richtig und man muss [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] nach
> dx auflösen um es für dx einzusetzen ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß
Loddar
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