Bestimmung Funktionsgleichung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 So 11.03.2007 | | Autor: | Kat |
| Aufgabe | Bei der Gewinnfunktion eines Unternehmers handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 2. Grades.
Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500 Stück einen max Gewinn von 25.000 . Bei einer Stückzahl von 800 Stück erzeilt der Unternehmer einen Verlust in Höhe von 20.000 .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr Lieben,
ich verzweifel einfach an dieser Aufgabe. Ich weiß nicht wie ich beginnen soll oder wie ich vorgehen soll.
Meine Idee war, dass die Grundgleichung der Funktion G(x) = axhoch3 + bx + c.
Ich wollte als nächstest das "a" "b" und "c" ausrechnen. Geht das?
Bin einfach eine komplette Niete in Mathe.
Könnt ihr mir vielleicht einen Tip geben wie ich starten soll?
Danke im voraus :)
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> Bei der Gewinnfunktion eines Unternehmers handelt es sich
> um eine ganzrationale Funktion 2. Grades.
> Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500
> Stück einen max Gewinn von 25.000 . Bei einer Stückzahl
> von 800 Stück erzeilt der Unternehmer einen Verlust in Höhe
> von 20.000 .
> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Meine Idee war, dass die Grundgleichung der Funktion G(x) =
> axhoch3 + bx + c.
Deine Idee ist fast gut. Fast: da steht ja
> Bei der Gewinnfunktion eines Unternehmers handelt es sich
> um eine ganzrationale Funktion 2. Grades.
Also hat die gesuchte Funktion die Gestalt [mm] G(x)=ax^2+bx+c.
[/mm]
> Ich wollte als nächstest das "a" "b" und "c" ausrechnen.
> Geht das?
Ich denke schon...
Gucken wir mal, was wir gegeben haben:
> Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500
> Stück einen max Gewinn
Aha. Die Funktion hat an der Stelle 500 ein Maximum.
Das bedeutet: an der Stelle 500 ist die erste Ableitung =0.
Du brauchst also die erste Ableitung. Dann setzt Du G'(500)=0.
Das liefert Dir eine Gleichung.
> Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500
> Stück einen max Gewinn von 25.000 .
Aha. Beim Absatz von 500 Stück betraägt sein Gewinn 25000 .
D.h: G(500)=25000.
Hier hast Du Deine nächste Gleichung.
> Bei einer Stückzahl
> von 800 Stück erzeilt der Unternehmer einen Verlust in Höhe
> von 20.000 .
Soso. Also G(800)=-20000. Hier hast Du die dritte Gleichung.
Du hast nun drei Gleichungen mit den Variablen a,b, c, welche Du nun auflösen mußt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 11.03.2007 | | Autor: | Kat |
Hallo Angela,
erstmal vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Ich bin jetzt sogar ein Schritt weiter gekommen.
Also die Grundfunktion habe ich jetzt schonmal.
> Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500
> Stück einen max Gewinn
Aha. Die Funktion hat an der Stelle 500 ein Maximum.
Das bedeutet: an der Stelle 500 ist die erste Ableitung =0.
Du brauchst also die erste Ableitung. Dann setzt Du G'(500)=0.
Das liefert Dir eine Gleichung.
Ich habe jetzt die erste Ableitung der Funktion erstellt:
G`(x) = ax + b
G`(500) = 500a + b
Stimmt das denn??
> Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500
> Stück einen max Gewinn von 25.000 .
Aha. Beim Absatz von 500 Stück betraägt sein Gewinn 25000 .
D.h: G(500)=25000.
Hier hast Du Deine nächste Gleichung.
Das hier verstehe ich leider nicht..... Wo bleibt denn dann das a,b oder c? Das kann doch nciht einfach wegfallen?
> Bei einer Stückzahl
> von 800 Stück erzeilt der Unternehmer einen Verlust in Höhe
> von 20.000 .
Soso. Also G'(800)=-20000. Hier hast Du die dritte Gleichung.
Das versteh ich leider auch nicht.....
Ich bin wirklich ganz schlecht in dieser Geschichte.... bitte nicht lachen... Den ersten Teil habe ich (zum Glück) verstanden und meine erste Gleichung herausgefunden :)
Dankeschön im voraus =)
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> > Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500
> > Stück einen max Gewinn
>
> Aha. Die Funktion hat an der Stelle 500 ein Maximum.
> Das bedeutet: an der Stelle 500 ist die erste Ableitung
> =0.
> Du brauchst also die erste Ableitung. Dann setzt Du
> G'(500)=0.
>
> Das liefert Dir eine Gleichung.
>
> Ich habe jetzt die erste Ableitung der Funktion erstellt:
> G'(x) = ax + b
> G'(500) = 500a + b
> Stimmt das denn??
Jawoll, das ist völlig richtig.
Es stimmt fast: die Ableitung von [mm] x^2 [/mm] ist ja 2x, also muß die Ableitung von G richtig heißen: G'(x)= 2ax + b.
>
>
> > Der Unternhemer erzielt bei einer Absatzmenge von 500
> > Stück einen max Gewinn von 25.000 .
>
> Aha. Beim Absatz von 500 Stück betraägt sein Gewinn 25000
> .
> D.h: G(500)=25000.
> Hier hast Du Deine nächste Gleichung.
>
> Das hier verstehe ich leider nicht..... Wo bleibt denn dann
> das a,b oder c? Das kann doch nciht einfach wegfallen?
Naja, "hier hast Du Deine nächste Gleichung", war vielleicht etwas voreilig von mir. "Hieraus kannst Du die nächste Gleichung basteln" wäre angebrachter.
Was bedeutetet G(500)? Übersetzt: setze 500 in die Funktion [mm] G(x)=ax^2+bx+c [/mm] ein.
Was bedeutet =25000? Da soll 25000 herauskommen.
>
> > Bei einer Stückzahl
> > von 800 Stück erzeilt der Unternehmer einen Verlust in
> Höhe
> > von 20.000 .
>
> Soso. Also G(800)=-20000. Hier hast Du die dritte
> Gleichung.
>
> Das versteh ich leider auch nicht.....
So wie oben, bloß das Du 800 in die von Dir berechnete Ableitung Funktion G(x) einsetzen mußt.
>
> Ich bin wirklich ganz schlecht in dieser Geschichte....
> bitte nicht lachen...
Nein, über Leute, die etwas noch nicht können und die sich bemühen, lacht hier keiner!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 11.03.2007 | | Autor: | Kat |
Guten Abend Angela,
so langsam versteh ich es :) Ein kleines Erfolgserlebnis an diesem Sonntagabend =)
Naja, "hier hast Du Deine nächste Gleichung", war vielleicht etwas voreilig von mir. "Hieraus kannst Du die nächste Gleichung basteln" wäre angebrachter.
Was bedeutetet G(500)? Übersetzt: setze 500 in die Funktion $ [mm] G(x)=ax^2+bx+c [/mm] $ ein.
Was bedeutet =25000? Da soll 25000 herauskommen.
Also ich habe folgendes ausgerechnet:
G(500) = a*500hoch2 + b*500+c
G(500) = 250000a+500b+c / G(500) =0
0= 250000a+500b+c
Muss ich denn jetzt eine Ableitung erstellen oder ist dies schon meine 2. Gleichung?
So wie oben, bloß das Du 800 in die von Dir berechnete Ableitung einsetzen mußt.
Dies habe ich ebenfalls gemacht. Sieht wie folgt aus:
G`(x) = ax+b
G`(800) = 800a+b / G`(800) = 0
0= 800a+b
Dies wäre doch jetzt meine 3. Gleichung und ich könnte anfangen meine Koeffizienten auszurechnen oder?
Nochmals vielen vielen Dank für deine Hilfe. Im voraus wünsche ich dir schonmal eine Gute Nacht.
Liebe Grüße Kat
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Hallo,
zunächst einmal muß ich Dich daraufhinweisen, daß ein Fehler in Deiner Ableitung war, welchen ich übersehen habe, und welcher glücklicherweise ethO aufgefallen ist:
Die Funktion lautet [mm] G(x)=ax^2 [/mm] + bx + c, somit ist ihre Ableitung
G'(x)=2ax + b.
Die Ableitung von "x hoch irgendetwas" geht ja immer so: "irgendetwas mal x hoch (irgendetwas - 1)", in Zeichen: [mm] f(x)=x^n, f'(x)=n*x^{n-1}.
[/mm]
Ich hoffe, Du weißt das. Wenn Du es bisher nicht wußtest, mußt Du Dir das unbedingt merken.
Ich mache noch ein Beispiel: [mm] f(x)=x^5, f'(x)=5*x^{5-1}=5*x^4.
[/mm]
So, nun zur Aufgabe:
Da die erste Ableitung G'(x)=2ax + b heißt,
und wir wissen, daß bei 500 Stück der Gewinn maximal ist, also die erste Ableitung =0 (Extremwert!), lautet die Gleichung richtig
2*500x+b=0
<==>
(*) 1000x+b=0.
>
> Was bedeutetet G(500)? Übersetzt: setze 500 in die Funktion
> [mm]G(x)=ax^2+bx+c[/mm] ein.
> Was bedeutet =25000? Da soll 25000 herauskommen.
>
> Also ich habe folgendes ausgerechnet:
>
> G(500) = a*500hoch2 + b*500+c
> G(500) = 250000a+500b+c
Bis hierher ist es richtig.
> / G(500) =0
Das stimmt nicht. In der Aufgabe stand ja, daß der Gewinn für 500 Stück 25000 beträgt, also G(500)=25000
also heißt es richtig
(**) 250000a+500b+c=25000
> 0= 250000a+500b+c
> Muss ich denn jetzt eine Ableitung erstellen oder ist dies
> schon meine 2. Gleichung?
Abgesehen von dem Fehler mit der Null ist das Deine Gleichung. Die Ableitung hast Du ja schon viel weiter oben gebildet, und bereits eingesetzt.
Und jetzt werde ich richtig sauer auf mich, weil ich gestern einiges an Blödsinn geschrieben habe, wie ich soeben sah. Es ist inzwischen verbessert.
Also, was mußt Du mit der 800 machen?
Da stand: bei 800 Stück ein Verlust von 20000 . Also mußt Du sie natürlich in die Gewinnfunktion einsetzen (und nicht in die Ableitung, wie ich völlig unverständlicherweise schrieb.)
Also:
[mm] a*800^2 [/mm] + b*800 +c=-20000
<==> (***) 160000a + 800b +c=-20000.
Nun hast Du Deine drei Gleichungen zusammen, aus denen Du a,b, c berechnen kannst.
Noch mal kurz zusammengefaßt:
Dort, wo es um die produzierte Anzahl und den Gewinn in geht, mußt Du in G(x) einsetzten, denn G(x) liefert Dir den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Gewinn.
Wenn es ums Maximum geht, brauchst Du die erste Ableitung, denn für die Stückzahl, an welcher der Gewinn am größten ist, hat natürlich die Gewinnfunktion G ein Maximum. Und da immer, wenn wir ein Maximum haben, die erste Ableitung =0 ist, mußt Du die erste Ableitung berechnen, die gewinnmaximale Stückzahl einsetzen und das ganze =0 setzen.
So war das hier bei der 500.
Wir wußten, daß wir maximalen Gewinn bei 500 Stück haben, also G'(500)=0
Weiter stand da, daß der Gewinn bei 500 Stück 25000 beträgt, also
G(x)=25000.
Ich hoffe, daß jetzt die Sache weitgehend klar ist, und daß ich Dich gestern nicht zu sehr verwirrt habe.
Wenn irgndetwas unklar ist, frag unbedingt nach!
Aufgaben von dieser Art wirst Du noch einige zu rechnen haben, es lohnt sich also, die Sache zu verstehen/können.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Di 13.03.2007 | | Autor: | Kat |
Vielen vielen Dank für die Hilfe! Ich habe es verstanden und die Aufgabe sogar richtig gelöst. Ich freu mich richtig, dass ich wenigstens einen kleinen Teil verstanden habe :)
1000 Dank zu euch beiden!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:56 So 11.03.2007 | | Autor: | eth0 |
> > Ich habe jetzt die erste Ableitung der Funktion erstellt:
> > G'(x) = ax + b
> > G'(500) = 500a + b
> > Stimmt das denn??
>
> Jawoll, das ist völlig richtig.
Wenn [mm] G(x)=ax^2+bx+c [/mm] ist, lautet die Ableitung korrekt [mm] G^\prime(x)=2ax+b, [/mm] nicht [mm] G^\prime(x)=ax+b.
[/mm]
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