Bestimmung Taylor reihe sinh < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ferrice |
| Aufgabe | | Die sinh(x) bzw die cosh(x) reihe soll anhand der e-Potenz reihe gebildet werden. |
Wir sollen anhand der e-potenzreihe die sinh(x) und cosh(x) reihe aufstellen...
Ich komme leider am Schluss beim vereinfachen nicht ganz weiter und zwar...
Die Reihen für e
[mm] e^x [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}
[/mm]
[mm] e^{-x} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n*x^n}{n!}
[/mm]
Der sinh(x) ist ja bekanntlich:
sinh(x) = [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
So jetzt setze ich die 2 reihen ein und erhalte:
sinh(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{x^n}{n!} - \bruch{(-1)^n*x^n}{n!}}{2}
[/mm]
Weiter vereinfacht ist das dann:
sinh(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n - (-1)^n*x^n}{2 * n!}
[/mm]
So und jetzt weiß ich nicht mehr weiter wie man vereinfachen soll....
Die sinh(x) Reihe lautet ja:
sinh(x) = [mm] x+\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}+ [/mm] ...
bzw.
sinh(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Kann mir da jemand helfen...???
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Hallo Ferrice!
Klammere zunächst aus der Summe [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] aus und anschließend in der Summe den Term [mm] $x^n$ [/mm] .
Was verbleibt dann? Welche Werte nimmt dieser Term an?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ferrice |
Danke für die Antwort...!
Wie meinst du genau?
sinh(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n - (-1)^n*x^n}{n!} [/mm]
dann....
sinh(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] * [mm] \bruch{1 - (-1)^n}{n!} [/mm]
Hast du so gemeint?
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Hallo Ferrice!
> Hast du so gemeint?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, genau.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 25.06.2009 | | Autor: | Ferrice |
Naja dann hab ich es noch weiter vereinfacht aber auf die Allgemeine Form wie man Sie in Büchern findet komme ich nicht....
Hat jemand noch eine Idee wie man das weiter umformen kann...?
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Hallo Ferrice!
Welche Werte kann denn der Term [mm] $1+(-1)^n$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{1+(-1)^n}{2}$ [/mm] annehmen?
Damit sollte man schnell sehen, dass nur für gerade $n_$ ein sinnvoller Wert verbleibt.
Gruß vom
Roadrunner
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