Bestimmung allg. Lsg. gDGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 18.12.2007 | | Autor: | Jebediah |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser gewöhnliche DGL 1.Ordnung mittels Substitution: [mm] y' = (10x+6y+5)^2 [/mm] |
Also, ich substituiere: u=10x+6y+5 ; d.h. [mm] y'=u^2
[/mm]
daraus folgt u'=10+6y'
daraus folgt [mm]y'=\bruch{u'-10}{6}[/mm]
ich setze das in meine ursprüngliche DGL y' = [mm] u^2 [/mm] ein: [mm]\bruch{u'-10}{6}=u^2[/mm]
daraus folgt [mm]u'=6u^2+10[/mm]
daraus folgt [mm]\bruch{du}{dx}=6u^2+10[/mm]
daraus folgt [mm]\bruch{du}{6u^2+10}=dx[/mm]
daraus folgt [mm]\integral \bruch{1}{6u^2+10}\, du=\integral\, dx[/mm]
daraus folgt [mm]\bruch{1}{\wurzel{60}}*arctan(\wurzel{\bruch{6}{10}}*u)=x+C[/mm]
jetzt müsste ich das nach u auflösen, aber hier komme ich nicht weiter. Wäre nett, wenn Ihr mir weiterhelfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jebediah!
Multiplizere die Gleichung mit [mm] $\wurzel{60}$ [/mm] und wende anschließend auf beide Seiten der Gleichung den [mm] $\tan(...)$ [/mm] an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 18.12.2007 | | Autor: | Jebediah |
Vielen Dank Roadrunner.
wenn ich das dann so mache, erhalte ich
[mm]u=\bruch{1}{3}\wurzel{15}*tan(2*\wurzel{15}x+2*\wurzel{15}c)[/mm]
dann kann ich den Faktor vor C weglassen:
[mm]u=\bruch{1}{3}\wurzel{15}*tan(2*\wurzel{15}x+c)[/mm]
Rücksubstitution mit u=10*x+6*y+5 ergibt
[mm]10*x+6*y+5 =\bruch{1}{3}\wurzel{15}*tan(2*\wurzel{15}x+c)[/mm]
und somit die allg. Lösung:
[mm]y=\bruch{1}{18}\wurzel{15}*tan(2*\wurzel{15}x+c)-\bruch{5}{3}*x-\bruch{5}{6}[/mm]
Ist das so richtig?
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Hallo Jebediah!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich konnte keinen Fehler entdecken ...
Gruß vom
Roadrunner
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