Bestimmung d. allg. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Do 11.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Bestimme die allg. Lösung der DGL:
x' = [mm] \bruch{x^{2}t-xt}{1+t^{2}} [/mm] |
Hallo Forum,
ich hab die Aufgabe versucht, zu lösen, glaub aber nicht, dass mein Ergebnis richtig ist. Ich hoffe, es kann einer das nachprüfen und mir helfen, wenn ich was falsch gemacht hab. das wär sehr nett :)
Ich hab folgendes gemacht:
[mm] x'(1+t^{2}) [/mm] = [mm] x^{2}t- [/mm] xt
[mm] x'(1+t^{2}) [/mm] + xt - [mm] x^{2}t [/mm] = 0
Dann hab ich das durch [mm] x^{2} [/mm] dividiert, x > 0, und erhalte:
x' [mm] x^{-2} (1+t^{2}) [/mm] + [mm] x^{-1} [/mm] t - t = 0
Dann hab ich das ganze durch [mm] 1+t^{2} [/mm] dvidiert.
x' [mm] x^{-2} [/mm] + [mm] \bruch{t}{1 + t^{2}} x^{-1} [/mm] - [mm] \bruch{t}{1 + t^{2}} [/mm] = 0
Dann das alles mal -1:
-x' [mm] x^{-2} [/mm] - [mm] \bruch{t}{1 + t^{2}} x^{-1} [/mm] + [mm] \bruch{t}{1 + t^{2}} [/mm] = 0
Jetzt ist doch : -x' [mm] x^{-2} [/mm] = [mm] (x^{-1})'
[/mm]
Also hab ich hier doch eine Bernoulli-DGL oder?
Transformation: y:= [mm] \gamma(x) [/mm] := [mm] x^{-1}
[/mm]
Also: y' - [mm] \bruch{t}{1 + t^{2}} [/mm] y + [mm] \bruch{t}{1 + t^{2}} [/mm] = 0
Und das ist doch ein inhomogenes lineares DGl, richtig?
Also ist x = [mm] \gamma^{-1}(y) [/mm] = [mm] y^{-1}
[/mm]
Ist das die Lösung der DGL??
Also mir erscheint dasd Ergebnis voll komisch, ich weiß aber nicht, was ich falsch gemacht habe. Weil wenn ich das Ergebnis in die Angabe einsetze, kommt nicht das richtige heraus.
Ich hoffe, es kann mich jemand aufklären.
Danke für die Hilfe.
Viele Grüße, Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Do 11.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Tut mr leid, aber ich weiß nicht, von welcher Lösung du sprichst - ich sehe in deinen Ausführungen noch keine Lösungsdarstellung $x=x(t)$.
Im übrigen machst du es dir viel zu schwer: Hier liegt wegen [mm] $x'=x(x-1)\cdot \frac{t}{1+t^2}$ [/mm] direkt eine DGL mit trennbaren Variablen vor, d.h.
[mm] $$\int~\frac{\mathrm{d}x}{x(x-1)} [/mm] = [mm] \int~\frac{t~\mathrm{d}t}{1+t^2} [/mm] + C$$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Dirk,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab versucht, die Integrale auszurechnen. Allerdings bin ich nicht sehr weit gekommen. Ich hoffe du oder jemand anders hilft mir weiter.
Da es ja ein DGL mit getrennten Variablen ist, gilt
[mm] \integral_{ \nu}^{x(t)}{ \bruch{1}{u(u-1)} du} [/mm] = [mm] \integral_{tau}^{t}{ \bruch{s}{1+s^{2}} ds}
[/mm]
Für letztes Integral konnte ich die Stammfunktion bestimmen:
[mm] \integral_{tau}^{t}{ \bruch{s}{1+s^{2}} ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{tau}^{t}{ \bruch{2s}{1+s^{2}} ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [ln(1+s^{2})]
[/mm]
Also gilt doch:
[mm] \integral_{ \nu}^{x(t)}{ \bruch{1}{u(u-1)} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [ln(1+s^{2})] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( ln( [mm] \bruch{1+t^{2}}{1+ tau^{2}}))
[/mm]
Aber wie kann man denn dieses Integral [mm] \integral_{ \nu}^{x(t)}{ \bruch{1}{u(u-1)} du} [/mm] lösen? Ich hab das mit partieller Integration probiert, aber ich komm da nicht zu einer Lösung, weil ich immer einen Bruch integrieren muss.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. das wäre sehr nett.
Vielen Dank,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Fr 12.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für das Integral benutzt man "Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{u*(u-1)}=\bruch{A}{u}+\bruch{B}{u-1}
[/mm]
dann siehst du die Stammfkt sofort.
Mit deinen tau und [mm] \nu [/mm] komm ich nicht zurecht. Man fasst üblicherweise die Ergebnisse der unteren Grenzen als eine "Integrationskonstante" zusammen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Leduart,
Danke für deine Antwort. Auf Partialbruchzerlegung wär ich jetzt nicht allein gekommen :)
Aber ich hab deinen Tipp befolgt und hab die Partialbruchzerlegung durchgeführt und erhalte:
[mm] \bruch{1}{u(u-1)} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{u} [/mm] + [mm] \bruch{1}{u-1}
[/mm]
Stimmt das?
Noch was zu dem [mm] \nu [/mm] und tau. Wir haben in der Vorlesung gesagt, dass x(tau) = [mm] \nu, [/mm] also die Anfangsbedingung zum AWP.
[mm] \integral_{\nu}^{x(t)}{- \bruch{1}{u} du} [/mm] + [mm] \integral_{\nu}^{x(t)}{ \bruch{1}{u-1} du} [/mm] = [- ln(u) ] + [ln(u-1)] = -ln(x(t)) + [mm] ln(\nu) [/mm] - ln(x(t)-1) + [mm] ln(\nu [/mm] -1) = ln ( [mm] \bruch{\nu(x(t) -1)}{x(t)(\nu - 1)})
[/mm]
Stimmt das?
Und wie soll ich das mit dem anderen Integral
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{tau}^{t}{ \bruch{2s}{1+s^{2}} ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ln( \bruch{1+t^{2}}{1+tau^{2}}) [/mm] zusammen bringen?
wie komme ich da auf die Lösung x(t)?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen.
Gruß, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Sa 13.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Moe
das 1/2 vor dem ln als wurzel in den ln. dann beide seiten mit exp, d.h. ln weglassen, dann nach x auflösen. sieht unschön aus sollte aber richtig sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 14.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für deine Antwort erstmal :)
Ich hab das mal gemacht, was du gesagt hast, und da kommt bei mir was ganz komisches heraus:
Also erstmal nochmal die einzelnen Integrale:
Also [mm] \bruch{1}{2} \integral_{tau}^{t}{ \bruch{2s}{1+s^{2}}ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln( [mm] \bruch{1+t^{2}}{1+tau^{2}})
[/mm]
So weit richtig oder?
Und das andere Integral ergibt:
[mm] \integral_{\nu}^{x(t)}{ \bruch{1}{u(u-1)} du} [/mm] = - [mm] \integral_{\nu}^{x(t)}{ \bruch{1}{u} du} [/mm] + [mm] \integral_{\nu}^{x(t)}{ \bruch{1}{u-1} du} [/mm] =
ln( [mm] \bruch{\nu (x(t)-1)}{x(t) (\nu - 1)})
[/mm]
Richtig?
Also erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln( [mm] \bruch{1+t^{2}}{1+tau^{2}}) [/mm] = ln( [mm] \bruch{\nu (x(t)-1)}{x(t) (\nu - 1)})
[/mm]
[mm] \wurzel{ \bruch{1+t^{2}}{1+tau^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{\nu (x(t)-1)}{x(t) (\nu - 1)}
[/mm]
Und dann hab ich das aufgelöst und bekomme den Riesenterm als Lösung der DGL:
x(t) = - [mm] \bruch{\nu \wurzel{1+ tau^{2}}}{ \wurzel{1+t^{2}} (\nu -1) - \nu \wurzel{1+ tau^{2}}}
[/mm]
Kann man das noch irgendwie vereinfachen oder für tau oder [mm] \nu [/mm] was einsetzen (x(tau) = [mm] \nu [/mm] ist die Anfangsbedingung) ?
Ich bin mir nicht sicher, ob das stimmt.
Ich bitte daher um Verbesserung, falls irgendwo der Wurm drin ist :)
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Mo 15.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ihr da mit den tau und [mm] \nu [/mm] so gemacht habt, und die konstanten nicht zusammengefasst habt, ist das soweit ich sehe richtig, evt. ist das Vorzeichen falsch setz einfach t=tau ein dann muss ja [mm] \nu [/mm] rauskommen.
da tau und [mm] \nu [/mm] ja eigentlich nur Zahlen sind ist der Ausdruck auch nicht so schrecklich.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:22 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo leduart,
erstmal danke für deine Antwort. Wir haben die Konstanten nicht zusammengefasst, aber mich würde interessieren, wie man das macht?
Vielleicht sieht dann die Lösung "schöner" aus.
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 17.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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