Bestimmung der Dichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Do 02.12.2010 | | Autor: | Steffen |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Dichte von X-Y, wenn X und Y unabhängig und [mm] E_{a}-verteilt [/mm] sind. |
Hallo:)
Ich kenne die Faltungsformel:
[mm] f_{X+Y}(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(s) f_{Y} (t-s) ds}
[/mm]
Ich habe in einem Buch auch eine Formel für die Differenz von Zufallsvariablen gefunden:
[mm] f_{X-Y}(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(s) f_{Y} (s-t) ds}
[/mm]
Ich gehe davon aus, dass ich die Aufgabe mit dieser Formel lösen kann oder? Aber wie begründe ich, dass diese Formel gilt, wenn ich nur die Faltungsformel kenne?
Oder muss ich ganz anders heran gehen?
Viele Grüße,
Steffen
P.S.: Sorry, ich bin neu hier. Ich hoffe ich habe alles richtig gemacht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Do 02.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Marc,
Vielen Dank für deine Antwort!
Wenn ich das: [mm] f_{-Y}(y)=f_Y(-y) [/mm] zeige, dann folgtg die Antwort auf meine Frage natürlich sofort.
Das habe ich jetzt auf zwei Weisen versucht. Bei der einen, aus meiner Sicht naheliegenderen, bin ich nicht bis ganz zum Ende gekommen. Bei der anderen bin ich mir generell nicht ganz sicher ob das so funktioniert. Ich schreibe mal beide Varianten hier auf:
1. Über die Definition der Dichte:
Z.z.: P(-Y [mm] \in A)=\integral_{-Y \in A}^{}{f(-y) dy}
[/mm]
P(-Y [mm] \in [/mm] A)=P(Y [mm] \in -A)=\integral_{Y \in -A}^{}{f(y) dy}= [/mm] ?
2. Über die Verteilungsfunktion
Sei Y eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion [mm] F_{Y}(y) [/mm] und Dichte [mm] f_{Y}(y). [/mm]
Z.z.: Die Dichte von -Y ist [mm] f_{Y}(-y)
[/mm]
Ich berechne zuerst die Verteilungsfunktion [mm] F_{-Y}(y) [/mm] von -Y.
[mm] F_{-Y}(y)=P(-Y \le y)=P(Y>-y)=1-P(Y\le-y)=1-F_{Y}(-y)
[/mm]
Wenn ich diese differenziere erhalte ich die Dichte:
[mm] f_{-Y}(y)=F_{-Y}'(y)=-((-1)F_{Y}'(-y))=F_{Y}'(-y)=f_{Y}(-y)
[/mm]
Das sind meine beiden Versuche. Ich denke irgendwie, dass der erste Weg schöner und wahrscheinlich auch richtiger wäre. Bei zweiten bin ich mir nicht sicher ob ich das so machen kann.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand eine Rückmeldung geben könnte .
Viele Grüße,
Steffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Fr 03.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
>
> Ich berechne zuerst die Verteilungsfunktion [mm]F_{-Y}(y)[/mm] von
> -Y.
>
> [mm]F_{-Y}(y)=P(-Y \le y)=P(Y>-y)=1-P(Y\le-y)=1-F_{Y}(-y)[/mm]
>
> Wenn ich diese differenziere erhalte ich die Dichte:
>
> [mm]f_{-Y}(y)=F_{-Y}'(y)=-((-1)F_{Y}'(-y))=F_{Y}'(-y)=f_{Y}(-y)[/mm]
>
>
>
>
> Das sind meine beiden Versuche. Ich denke irgendwie, dass
> der erste Weg schöner und wahrscheinlich auch richtiger
> wäre. Bei zweiten bin ich mir nicht sicher ob ich das so
> machen kann.
Mir gefaellt der 2. Weg, du bist kurz vor dem Ziel. Nur was ist $y_$?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Luis,
Vielen Dank für deine Antwort!
Mit y ist doch nur die Variable der Verteilungs- bzw. Dichtefunktion gemeint. Oder stimmt damit irgendetwas nicht?
Meinst du mit am Ziel, dass ich fast am Ziel der gesamten Aufgabe bin?
Ich denke ich würde jetzt folgendermaßen weiter vorgehen:
- Ich weiß, dass wenn X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen sind auch X und -Y unabhängig sind.
- Da ich nun die Dichte von -Y kenne, kann ich nund einfach X+(-Y) in die Faltungsformel einsetzen und die Dichte ausrechnen.
Passt das so?
Viele Grüße,
Steffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Luis,
> Dein Argument war weitgehend okay, jedoch argumentierst du
> implizit fuer [mm]y<0[/mm]. Fuer [mm]y\ge 0[/mm] ist [mm]P(-Y\le y)=P(Y\ge-y)=1[/mm].
> Hier fehlte fuer meinen Geschmack etwas Genauigkeit.
Ich verstehe dieses Argument ehrlich gesagt nicht ganz. Y kann doch allgemein jede beliebige reelle Zahl annehmen, also sowohl positiv als auch negativ sein. Dann gilt doch bei positivem y nicht zwangsläufig
[mm] P(Y\ge-y)=1
[/mm]
oder?
Viele Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 04.12.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich verstehe dieses Argument ehrlich gesagt nicht ganz. Y
> kann doch allgemein jede beliebige reelle Zahl annehmen,
> also sowohl positiv als auch negativ sein. Dann gilt doch
> bei positivem y nicht zwangsläufig
>
> [mm]P(Y\ge-y)=1[/mm]
>
> oder?
Vielleicht ruehrt ein Missverstaendnis daher, dass ich deine (nicht-standardisierte) Schreibweise $ [mm] E_{a}$-Verteilung [/mm] als Exponentialverteilung interpretiert habe. *Wenn* $Y_$ exponentialverteilt ist, so ist [mm] $P(Y\le [/mm] y)=0$ fuer [mm] $y\le [/mm] 0$. Mithin ist [mm] $P(-Y\le y)=P(Y\ge-y)=1-P(Y\le-y)=1$ [/mm] fuer $y>0$.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Luis,
Danke für deine Erklärung. Das ist jetzt auch für mich einleuchtend. Ich habe zuvor gar nicht darüber nachgedacht, welche Verteilung zu Grunde liegt, und ja, mit [mm] E_{a} [/mm] war die Exponentialverteilung gemeint.
Aber wenn ich die Aussage allgemein beweisen will ist sie doch so richtig oder?
Ich wollte jetzt einfach die negative Dichte der Exponentialverteilung nehmen und in die Faltungsformel einsetzen, dann müsste sich doch alles genauso ergeben oder?
Viele Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Sa 04.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
> Danke für deine Erklärung. Das ist jetzt auch für mich
> einleuchtend. Ich habe zuvor gar nicht darüber
> nachgedacht, welche Verteilung zu Grunde liegt, und ja, mit
> [mm]E_{a}[/mm] war die Exponentialverteilung gemeint.
>
> Aber wenn ich die Aussage allgemein beweisen will ist sie
> doch so richtig oder?
> Ich wollte jetzt einfach die negative Dichte der
> Exponentialverteilung nehmen und in die Faltungsformel
> einsetzen, dann müsste sich doch alles genauso ergeben
> oder?
Ja, dann mal los ... ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
vg Luis
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
