Bestimmung der Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Mi 26.01.2011 | | Autor: | anno |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren folgender Matrix.
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] |
Hallo,
ich habe die Eigenwerte herausbekommen, doch wie komme ich da nun auf die Eigenvektoren.
Eigenwerte:
[mm] \vmat{ 2-\lambda & 0 \\ 0 & -4-\lambda } [/mm] = [mm] (2-\lambda)(-4-\lambda)-0 [/mm] = -8 [mm] -2\lambda+4\lambda+\lambda^{2} [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] - 8
Mit Mitternachtsformel:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -4
Wie bestimme ich daraus jetzt die Eigenvekoren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen
> Eigenvektoren folgender Matrix.
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> [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
> Hallo,
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> ich habe die Eigenwerte herausbekommen, doch wie komme ich
> da nun auf die Eigenvektoren.
>
> Eigenwerte:
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> [mm]\vmat{ 2-\lambda & 0 \\ 0 & -4-\lambda }[/mm] =
> [mm](2-\lambda)(-4-\lambda)-0[/mm] = -8
> [mm]-2\lambda+4\lambda+\lambda^{2}[/mm] = [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]2\lambda[/mm] -
> 8
>
> Mit Mitternachtsformel:
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -4
Tipp: Du willst doch die Nullstellen des Polynoms [mm](2-\lambda)(-4-\lambda)[/mm] bestimmen. Dieses liegt fein säuberlich faktorisiert vor ! Dann brauchst Du doch nicht ausmultiplizieren und die Mitternachst formel bemühen. Das ist doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen !
[mm](2-\lambda)(-4-\lambda)=0[/mm]
................ ein Produkt ist = 0 genau dann, wenn einer der Faktoren = 0 ist ...........
>
> Wie bestimme ich daraus jetzt die Eigenvekoren?
Sei [mm] \lambda \in [/mm] { 2, -4 }. Löse das LGS
[mm]\pmat{ 2-\lambda & 0 \\ 0 & -4-\lambda } \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}[/mm]
Jede Lösung [mm] \vektor{x \\ y} \ne \vektor{0 \\ 0} [/mm] dieses LGS ist ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda
[/mm]
FRED
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